1、数学 第二部分 高考热点 分层突破 专题五 解析几何第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题02练典型习题 提数学素养 01研考点考向破重点难点最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等高考真题【基本不等式法】(2014高考课标全国卷)已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点.(1)求 E 的方程；(2)设过点
2、A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.思维方法(1)略(2)当 lx 轴时不合题意，【关键 1：研究直线 l 与 x 轴垂直的情况】故可设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykx2 代入x24 y21 得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21，【关键 2：设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出 A，B 两点的横坐标与参数 k 的关系式】从而|PQ|k21|x1x2|4 k214k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，思维方
3、法所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.【关键 3：用参数 k 表示面积】设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0，【关键 4：换元，利用基本不等式求最值】所以，当OPQ 的面积最大时，k 72，l 的方程为 y 72 x2 或 y 72 x2.高考真题【利用函数的单调性求最值】(2019高考全国卷)已知点 A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为12.记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的
4、直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G.证明：PQG 是直角三角形；求PQG 面积的最大值.思维方法(1)略(2)证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ykx(k0).由ykx，x24 y221得 x212k2.记 u212k2，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0).【关键 1：巧换元，妙设点 P、Q、E 的坐标】于是直线 QG 的斜率为k2，方程为 yk2(xu)【关键 2：求直线 QG 的方程】由yk2（xu），x24 y221得(2k2)x22uk2xk2u280.*思维方法设 G(xG，yG)，则
5、u 和 xG 是方程*的解，故 xGu（3k22）2k2，由此得 yG uk32k2.【关键 3：正确求出 G 点的坐标】从而直线 PG 的斜率为uk32k2uku（3k22）2k2u1k.【关键 4：求直线 PG 的斜率】所以 PQPG，即PQG 是直角三角形.由得|PQ|2u 1k2，|PG|2uk k212k2，【关键 5：利用弦长公式求出 PQ、PG 的表达式】思维方法所以PQG 的面积 S12|PQ|PG|8k（1k2）（12k2）（2k2）81kk121kk2.【关键 6：将PQG 的面积表示成关于 k 的函数】设 tk1k，则由 k0 得 t2，当且仅当 k1 时取等号因为 S8
6、t12t2在2，)单调递减，所以当 t2，即 k1 时，S 取得最大值，最大值为169.因此，PQG 面积的最大值为169.典型例题(2019安徽宣城二模)已知椭圆 C 的方程为x24 y221，A 是椭圆上的一点，且 A在第一象限内，过 A 且斜率等于1 的直线与椭圆 C 交于另一点 B，点 A 关于原点的对称点为 D.(1)证明：直线 BD 的斜率为定值；(2)求ABD 面积的最大值【解】(1)证明：设 D(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A(x1，y1)，直线 BD 的斜率 ky2y1x2x1，由x214 y2121，x224 y2221，两式相减得y2y1x2x112x1x2y1y
7、2，因为 kABy1y2x1x21，所以 ky2y1x2x112，故直线 BD 的斜率为定值12.(2)连接 OB，因为 A，D 关于原点对称，所以 SABD2SOBD，由(1)可知 BD 的斜率 k12，设 BD 的方程为 y12xt，因为 D 在第三象限，所以 2tb0)的离心率为 22，焦距为 2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)如图，动直线 l：yk1x 32 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线 OC 的斜率为 k2，且 k1k2 24，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|AB|23,M 的半径为|MC|，OS，OT 是M 的两条切线，切点分别为 S，T.求
8、SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率解：(1)由题意知 eca 22，2c2，所以 a 2，b1，因此椭圆 E 的方程为x22 y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程x22 y21，yk1x 32，得(4k212)x24 3k1x10，由题意知 0，且 x1x2 2 3k12k211，x1x212（2k211），所以|AB|1k21|x1x2|21k21 18k2112k21.由题意可知圆 M 的半径 r 为r23|AB|2 231k21 18k212k211.由题设知 k1k2 24，所以 k2 24k1，因此直线 OC 的方程为 y 24k1x.联立方
9、程x22 y21，y 24k1x，得 x2 8k2114k21，y2114k21，因此|OC|x2y218k2114k21.由题意可知 sinSOT2rr|OC|11|OC|r，而|OC|r 18k2114k212 231k2118k2112k213 2412k2114k21 1k21，令 t12k21，则 t1，1t(0，1)，因此|OC|r 32t2t2t132121t1t23211t122941，当且仅当1t12，即 t2 时等号成立，此时 k1 22，所以 sinSOT212，因此SOT26，所以SOT 最大值为3.综上所述：SOT 的最大值为3，取得最大值时直线 l 的斜率为 k1
10、22.高考真题(2018高考浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上.(1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2y241(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围.1几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决范围问题思维方法(1)略(2)由(1)可知y1y22y0，y1y28x0y20，所以|PM|18(y21y22)x034y203x0，|y1y2|2 2（y204x0）.因此，
11、PAB 的面积 SPAB12|PM|y1y2|3 24(y204x0)32.【关键 1：利用根与系数的关系，用 P 点坐标表示PAB 的面积】因为 x20y2041(1x00 求取值范围】当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，四边形 MPNQ 的面积为 12.【关键 7：分类讨论，直线斜率不存在时四边形 MPNQ 的面积】综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12，8 3).典型例题(2019安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点坐标分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，P 为椭圆 C 上一点，满足 3|PF1|5|PF2|且
12、cosF1PF235.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 Q14，0，若|AQ|BQ|，求 k 的取值范围【解】(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则 3r15r2，又 r1r22a，所以 r154a，r234a.在PF1F2 中，由余弦定理得，cosF1PF2r21r22|F1F2|22r1r254a234a222254a34a35，解得 a2，因为 c1，所以 b2a2c23，所以椭圆 C 的标准方程为x24 y231.(2)联立方程x24 y231ykxm，消去 y 得(34k2)x28kmx4m2120，设 A(x1，
13、y1)，B(x2，y2)，则 x1x28km34k2，x1x24m21234k2，且 48(34k2m2)0，设 AB 的中点为 M(x0，y0)，连接 QM，则 x0 x1x224km34k2，y0kx0m 3m34k2，因为|AQ|BQ|，所以 ABQM，又 Q14，0，M 为 AB 的中点，所以 k0，直线 QM的斜率存在，所以 kkQMk3m34k24km34k2141，解得 m34k24k，把代入得 34k234k24k2，整理得 16k48k230，即(4k21)(4k23)0，解得 k12或 k12，故 k 的取值范围为，12 12，.求解范围问题的常见方法(1)利用判别式构造不
14、等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用基本不等式求出参数的取值范围(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围对点训练(2019洛阳模拟)已知 A，B 是 x 轴正半轴上两点(A 在 B 的左侧)，且|AB|a(a0)，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，与抛物线 y22px
15、(p0)在第一象限分别交于 D，C 两点(1)若 ap，点 A 与抛物线 y22px 的焦点重合，求直线 CD 的斜率；(2)若 O 为坐标原点，记OCD 的面积为 S1，梯形 ABCD 的面积为 S2，求S1S2的取值范围解：(1)由题意知 Ap2，0，则 Bp2a，0，Dp2，p，则 Cp2a，p22pa，又 ap，所以 kCD 3pp3p2 p2 31.(2)设直线 CD 的方程为 ykxb(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由ykxby22px，得 ky22py2pb0，所以 4p28pkb0，得 kb0，y1y22pbk 0，可知 k0，b0，因为|CD|1k2|x1x2|
16、a 1k2，点 O 到直线 CD 的距离 d|b|1k2，所以 S112a 1k2|b|1k212ab.又 S212(y1y2)|x1x2|122pk aapk，所以S1S2kb2p，因为 0kbp2，所以 0S1S214.代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明证明问题高考真题(2018高考全国卷)设椭圆 C：x22 y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B两点，点 M 的坐标为(2，0).(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O
17、为坐标原点，证明：OMAOMB.思维方法(1)略(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.【关键 1：分类讨论(l 与 x 轴重合)，证明OMAOMB】当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB.【关键 2：分类讨论(l 与 x 轴垂直)，证明OMAOMB】当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，【关键 3：设出直线方程及直线与椭圆交点的坐标】思维方法则 x1 2，x20).(1)证明：kb0)上，O 为坐标原点，直线 l：xa2 3y2b21 的斜率与直线 OA 的斜率乘积为14
18、.(1)求椭圆 C 的方程；(2)不经过点 A 的直线 y 32 xt(t0 且 tR)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，P 关于原点的对称点为 R(与点 A 不重合)，直线 AQ，AR 与 y 轴分别交于两点 M，N，求证：|AM|AN|.【解】(1)由题意知，kOAkl 32 2b23a2b2a214，即 a24b2，又 1a2 34b21，所以联立，解得a2b1，所以椭圆 C 的方程为x24 y21.(2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 R(x1，y1)，由y 32 xtx24 y21，得 x2 3txt210，所以 4t20，即2tb0)的离心率为 22，右焦点为 F，
19、以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，过定点 P(2，0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，连接 AF 并延长交 C 于 M，求证：PFMPFB.解：(1)依题意可设圆 O 的方程为 x2y2b2，因为圆 O 与直线 xy 20 相切，所以 b|2|12121，所以 a2c21，又ca 22，所以 a 2，所以椭圆 C 的方程为x22 y21.(2)证明：依题意可知直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 yk(x2)由yk（x2）x22 y21得(12k2)x28k2x8k220，因为 l 与椭圆有两个交点，所以 0，即 2k210.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AF，BF 的斜率分别为 k1，k2，则 x1x2 8k212k2，x1x28k2212k2.因 为 F(1，0)，所 以 k1 k2 y1x11 y2x21 k（x12）x11 k（x22）x21 2k k1x111x21 2kkx1x22x1x2（x1x2）12kk8k212k228k2212k2 8k212k212kk4k222k210，即PFMPFB.请做：练典型习题 提数学素养 word部分：点击进入链接 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
