1、每日一题规范练(第五周)题目1(本小题满分12分)已知数列an中，点(an，an1)在直线yx2上，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值解：(1)根据已知a11，an1an2，即an1an2d，所以数列an是一个等差数列，ana1(n1)d2n1.(2)数列an的前n项和Snn2.等比数列bn中，b1a11，b2a23，所以q3，bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn即n2，又nN*，所以n1或2. 题目2(本小题满分12分)已知ABC的内角A，B，C的对
2、边分别为a，b，c，a2b2ab.(导学号 55410160)(1)若，B，求sin A；(2)若4，AB边上的高为，求C.解：(1)由已知B，a2b2ab，结合正弦定理，得4sin2A2sin A10，于是sin A.因为0A，所以sin A，得sin A.(2)由题意可知SABC absin Cc2，得absin C(a2b22abcos C)(4ab2abcos C)从而sin Ccos C2，即sin1，又因为C，所以C.题目3(本小题满分12分)在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别
3、学生的偏科情况，对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差x2015133251018物理偏差y6.53.53.51.50.50.52.53.5(1)已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩解：(1)由题意，计算x，y，所以y x.所以线性回归方程为x.(2)由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为90.5.又该同学
4、的数学偏差为1261188.由(1)中回归方程得90.58，解得93.所以能够预测这位同学的物理成绩为93分题目4(本小题满分12分)如图，平面五边形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60，CDED，cos EDC.将CDE沿CE折起，使点D移动到P的位置，且AP，得到四棱锥PABCE.(1)求证：AP平面ABCE；KS5UKS5U.KS5U(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：ABl.证明：(1)在CDE中，因为CDED，cos EDC，由余弦定理，得CE2.连接AC，因为AE2，AEC60，所以AC2.又因为AP，所以在PAE中，PA2AE2PE2，即APAE，同理APA
5、C，又AC，AE平面ABCE，ACAEA，故AP平面ABCE.(2)因为ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，所以AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl，所以ABl.题目5(本小题满分12分)已知函数f(x)axln x，其中a为常数(导学号 55410161)(1)当a1时，求f(x)的单调增区间；(2)当0e时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为3，求a的值；(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数根解：(1)由已知可知函数f(x)的定义域为x|x0，当a1时，f(x)xln x，f(x)，当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.KS5UKS5U.KS5U所以f(
6、x)的单调增区间为(0，1)(2)因为f(x)a，令f(x)0，解得x；由f(x)0解得0x；由f(x)0，解得xe.从而f(x)的单调增区间为，减区间为，所以f(x)maxf1ln3.KS5UKS5UKS5U解得ae2.(3)由(1)知当a1时，f(x)maxf(1)1，所以|f(x)|1.令g(x)，则g(x).当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0，从而g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减所以g(x)maxg(e)1，所以|f(x)|g(x)，即|f(x)|，所以方程|f(x)|没有实数根题目6(本小题满分12分)已知圆C：(x1)2y2，一动圆与直线x相切且与圆C
7、外切(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点Q(6，0)的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NANB，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由解：(1)设P(x，y)，则由题意得|PC|，所以x1.化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，设直线l的方程为xmy6，联立抛物线方程得y24my240，所以y1y24m，y1y224，KS5UKS5U所以x1x24m212，x1x236.假设存在N(x0，y0)，使得NANB，则y02m，所以x0m2.因
8、为0，所以代入化简可得(m26)(3m22)0，所以m，所以存在直线l：xy6，使得NANB.题目7请考生在1、2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 1(本小题满分10分)已知直线l：sinm，曲线C：(1)当m3时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围解：(1)直线l：sinm，展开得m，化为直角坐标方程为yxm，当m3时，化为yx30.曲线C：化为(x1)2y23.圆心C(1，0)到直线l的距离dr，因此直线l与曲线C相切KS5UKS5U(2)因为曲线C上存在到直线l的距离等于的点，所以圆心C(1，0)到直线l的距离d，解得2m4.所以实数m的范围是2，42(本小题满分10分)设函数f(x)|x|(xR)的最小值为a.(1)求a；(2)已知两个正数m，n满足m2n2a，求的最小值解：(1)f(x)当x(，0)时，f(x)单调递减；当x0，)时，f(x)单调递增；所以当x0时，f(x)的最小值a1.(2)由(1)知m2n21，则m2n22mn，得2，由于m0，n0，则22，当且仅当mn时取等号所以的最小值为2.
