1、专题4 三角函数与平面向量第19练 平面向量中的线性问题题型分析高考展望平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.常考题型精析 高考题型精练 题型一 平面向量的线性运算及应用 题型二 平面向量的坐标运算 常考题型精析 题型一 平面向量的线性运算及应用 例 1(1)(2015课标全国改编)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则下列结论正确的是_.AD 13AB43AC；AD 13AB43AC；AD 4
2、3AB13AC；AD 43AB13AC.解析 BC3CD，ACAB3(AD AC)，即 4AC AB3AD，AD 13AB43AC.答案 (2)如图所示，在ABC 中，D，F 分别是AB，AC 的中点，BF 与 CD 交于点 O，设ABa，ACb，试用 a，b 表示向量AO.解 由 D，O，C 三点共线，可设DO k1DC k1(ACAD)k1b12a12k1ak1b(k1 为实数)，BO k2BFk2(AFAB)k2(12ba)k2a12k2b(k2 为实数)，又BO BD DO 12a(12k1ak1b)12(1k1)ak1b，由，得k2a12k2b12(1k1)ak1b，即12(1k12
3、k2)a12k2k1 b0.又a，b不共线，所以 121k12k20，12k2k10k113，k223.所以BO 23a13b.所以AO ABBO a23a13b 13(ab).点评 平面向量的线性运算应注意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA OB OC(，为实数)，若 A、B、C 三点共线，则 1.变式训练 1(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD ABkAC，则 k_.AD ACCD AC(ED EC)解析 根
4、据向量的基本定理可得 AC(2AC 22 BC)AC 2AC 22(ACAB)1 22 AC 22 AB.所以 22，k1 22.所以 k1 2.答案 1 2(2)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若则_.解析 依题意得 ABAM AN，AM ABBCCM ABBC 14AB34ABBC，ANABBNAB12BC；又ABAM AN，于是有AB34ABBC AB12BC34 AB2 BC；又AB与BC不共线，因此有341，20，由此解得 45，2，所以 45.答案 45题型二 平面向量的坐标运算 例2(1)(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若
5、manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析 a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即2mn9，m2n8，解得m2，n5，故mn253.3(2)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：求满足ambnc的实数m，n；若(akc)(2ba)，求实数k；若d满足(dc)(ab)，且|dc|5，求d.解 由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，m4n3，2mn2，得m59，n89.akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k1613.设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(
6、2,4)，由题意得4x42y10，x42y125，解得 x3，y1 或x5，y3.d(3，1)或d(5,3).点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练 2(1)(2014湖南)在平面直角坐标系中，O 为原
7、点，A(1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的最大值是_.由CD(x3，y)及|CD|1 知(x3)2y21，解析 设D(x，y)，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又 O AOB OD(1,0)(0，3)(x，y)(x1，y 3)，|OA OB OD|x12y 32.问题转化为圆(x3)2y21 上的点与点 P(1，3)间距离的最大值.故x12y 32的最大值为 71.圆 心 C(3,0)与 点 P(1，3)之 间 的 距 离 为3120 32 7，答案 71(2)已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，若点 A、B、
8、C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是_.解析 因为OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，所以AB(3,1)，BC(m1，m).由于点 A、B、C 能构成三角形，所以AB与BC不共线，而当AB与BC共线时，有3m1 1m，解得 m12，故当点 A、B、C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是m12.答案 m12高考题型精练 1234567891011121.(2015四川改编)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x_.解析 a(2,4)，b(x,6)，ab，4x260，x3.3高考题型精练 1234567891011122.(2015安徽改编)ABC 是边长为 2
9、 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB 2a，AC 2ab，则下列结论正确的是_.|b|1;ab；ab1;(4ab)BC.高考题型精练 123456789101112解析 在ABC 中，由BCACAB2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以(4ab)BC(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)BC，故正确.答案 高考题型精练 1234567891011123.已知 A(3,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点 C 在AOB 内，|OC|2 2，且AOC4，设OC OA OB(R)，则 的值为_.解析 过C作CEx轴于点E(图略).由AO
10、C4，知|OE|CE|2，高考题型精练 123456789101112所以OC OE OB OA OB，即OE OA，所以(2,0)(3,0)，故 23.答案 23高考题型精练 1234567891011124.在ABC 中，AR2RB，CP2PR，若APmABnAC，则 mn_.解析 由CP2PR知，APAC2(ARAP)，知AP13(AC2AR).由AR2RB，得AR2(ABAR)，高考题型精练 123456789101112即AR23AB，故AP13AC49AB，所以 mn79.答案 79高考题型精练 1234567891011125.如图所示，已知点 G 是ABC 的重心，过点G作直线
11、与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且AM xAB，ANyAC，则 xyxy的值为_.解析(特例法)过重心作平行于底边 BC 的直线，利用相似三角形的性质，易得 xy23，则 xyxy13.13高考题型精练 1234567891011126.(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.解析 ab0，ab，|a|b|b|2212 5，|a|5.又|a|1，|5.5高考题型精练 1234567891011127.已知 A(3,0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且AOC30，OC OA OB，则实数 的值为_.解析 由题意知OA(3,0
12、)，OB(0，3)，则OC(3，3)，由AOC30知以 x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为 150，tan 15033，即 33 33，1.1高考题型精练 1234567891011128.(2014陕西)设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则 tan _.解析 因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为 00，得 2sin cos，tan 12.12高考题型精练 1234567891011129.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若ABmAM，AC
13、nAN(m，n0)，则1m4n的最小值为_.解析 MO AO AMABAC21mAB121m AB12AC.高考题型精练 123456789101112同理NO 121n AC12AB，又 M，O，N 三点共线，故121m AB12AC121n AC12AB，即121m2 AB122n AC0，由于AB，AC不共线，高考题型精练 123456789101112根据平面向量基本定理得121m20 且122n0，消掉 即得 mn2，故1m4n12(mn)1m4n125nm4mn 12(54)92.(当且仅当 n2m 时，等号成立)答案 92高考题型精练 12345678910111210.向量a，
14、b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.解析 以向量a和b的交点为原点建直角坐标系(图略)，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据cab(1，3)(1,1)(6,2)有61，23，高考题型精练 123456789101112解之得 2 且 12，故4.答案 4高考题型精练 12345678910111211.(2015北京)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BN NC.若MN xAByAC，则 x_，y_.解析 MN MC CN13AC 12CB13AC 12(ABAC)高考题型精练 12345678910111212AB16AC，x12，y16.答案
15、12 16高考题型精练 123456789101112(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；12.已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM t1OA t2AB.解 OM t1OA t2ABt1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2).高考题型精练 123456789101112当点M在第二或第三象限时，有4t20，2t14t20，故所求的充要条件为t20且t12t20.高考题型精练 123456789101112(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；证明 当 t11 时，由(1)知OM(4t2,4t22).ABOB OA(4,4)，AM OM OA(4t2,4t2)t2(4,4)t2AB，不论t2为何实数，A、B、M三点共线.高考题型精练 123456789101112(3)若 t1a2，求当OM AB且ABM 的面积为 12 时 a 的值.解 当 t1a2 时，OM(4t2,4t22a2).又AB(4,4)，OM AB，4t24(4t22a2)40，t214a2，故OM(a2，a2).高考题型精练 123456789101112又|AB|4 2，点 M 到直线 AB：xy20 的距离d|a2a22|2 2|a21|.SABM12，12ABd124 2 2|a21|12，解得a2，故所求a的值为2.
