1、1.5 定积分的概念1连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条_的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数连续不断2曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图1)图1 图2(2)求曲边梯形面积的方法：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用_的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值_，就得到曲边梯形面积的近似值(如图2)(3)求曲边梯形面积的步骤：_；_；_；_.矩形求和分割近似代替求和取极限3求变速直线运动的位移(路程)如果物体
2、做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以采用_、_、_、_的方法，求出它在atb内所作的位移s.分割近似代替求和取极限4定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)作和式_，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作ab f(x)dx，即ab f(x)dx_.i1nf(i)xi1n ban f(i)limni1n ban f(i)其中 a 与 b 分别叫做_和_，区间a，b 叫 做 _，函 数 f(x)叫 做 _，x 叫 做_
3、，f(x)dx 叫做_5定积分的几何意义如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0，那么定积分abf(x)dx 表示_.积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积6定积分的性质(1)abkf(x)dx_(k 为常数)；(2)abf1(x)f2(x)dx_；(3)abf(x)dxacf(x)dx_(其中 acb)kabf(x)dx abf1(x)dxabf2(x)dx cbf(x)dx1函数 f(x)x2 在区间i1n，in 上()A函数 f(x)的值变化很小B函数 f(x)的值变化很大C函数 f(x)的值不变化D当 n
4、 很大时，函数 f(x)的值变化很小【答案】D 2已知02exdxe21，则023exdx 等于()A6e26B3e23Cex1De21【答案】B3函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均不正确【答案】C4计算k15k(k1)_.【答案】40求曲边梯形的面积【例 1】求由直线 x1，x2 和 y0 及曲线 yx3 围成的图形的面积参考公式：122232n2n6n12n1，132333n314n2n12【解题探究】只需运用“四步曲”可求【解析】(1)分割：
5、如图，把求面积的曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点 n1n，n2n，nn1n，把区间1,2等分成n个小区间1，n1n，n1n，n2n，ni1n，nin，nn1n，2，每个小区间的长度为xnin ni1n1n，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)近似代替：取各小区间的左端点i，用以点i处的函数值(i)3为一边，以小区间长x1n为其邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Si(i)3xni1n31n(i1,2,3，n)(3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个
6、小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即Si1nSii1nni1n31n.(4)取极限：当分点数目愈多，即x愈小时，和式的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因此当n即x0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积i1nni1n31n1n4i1n(ni1)3 1n4i1n(n1)33(n1)2i3(n1)i2i31n4nn133n12nn123n1n6n12n114n2n12，S limni1nni1n31n132114154.求曲边梯形面积 思想：以直代曲.步骤：分割近似代替求和取极限.关键：近似代替.结果：分割越细，面积越精确1求直线x0，x2，y0与曲线f(x)4x22
7、x1所围成的曲边梯形的面积【解析】(1)分割：将区间0,2 n等分，则2i1n，2in(i1,2，n)的区间长度x 2n，原曲边梯形分割成n个小曲边梯形，如图所示(2)近似代替：用f2i1n作为第i个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形的面积近似代替相应小曲边梯形的面积(3)求和：n个小矩形的面积之和为Sni1nf2i1nxi1n16i12n24i1n1 2n16n21222(n1)24n12(n1)n2n32n316n(n1)(2n1)8n212n(n1)2163 11n 21n 411n 2.(4)取极限：所求曲边梯形的面积为SlimnSnlimn163 11n 21n 411n 2163
8、(10)(20)4(10)2323 6503.利用定积分的定义计算定积分【例2】利用定积分的定义计算12(1x)dx的值【解题探究】这里的被积函数f(x)1x，显然是连续函数，按定义中包含的几个步骤来求即可【解析】函数f(x)1x在区间1,2上连续，将区间1,2分成n等份，则每个区间长度为x1n.在区间xi1，xi1i1n，1in 上取ixi11i1n(i1,2,3，n)，于是f(i)f(xi1)11i1n 2i1n.从而i1nf(i)xi1n2i1n1ni1n2ni1n22nn1n2012(n1)2 1n2nn122n12n.12(1x)dxlimn2n12n 21252.用定义求定积分的步
9、骤：分割：n等分区间a，b；近似代替：取点ia，b；求和：i1nbanf(i)；取极限：abf(x)dxlimni1n ban f(i)2利用定积分的定义计算12(3x2)dx的值【解析】令f(x)3x2.(1)分割：在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分成n个小区间ni1n，nin(i1,2，n)，每个小区间的长度为xnin ni1n1n.(2)近似代替、求和：取ini1n(i1,2，n)，则Sni1nfni1nxi1n3ni1n2 1ni1n3i1n25n 53n2012(n1)532n2nn2 132 32n.(3)取极限：12(3x2)dxlimnSnlimn 132
10、32n 132.定积分的几何意义【例3】利用定积分的几何意义计算(1)11xdx；(2)RRR2x2dx.【解题探究】明确ab f(x)dx表示的是由x轴与曲线yf(x)及直线xa，xb围成的图形各部分面积的代数和【解析】(1)如图1所示，定积分为图中阴影部分的面积A减去BSASB12，11xdx12120.(2)如图2所示，定积分为图中阴影部分的面积，而阴影部分的面积为2R2，RRR2x2dx2R2.图1 图2利用定积分的几何意义求定积分必须准确理解其几何意义，将被积函数的图象在坐标系中画出来，再根据积分区间确定图形的范围和大小，利用相关面积公式求出面积，即得定积分的值3用定积分表示下列图1、图2中阴影部分的面积图1 图2【解析】由定积分的几何意义，得(1)阴影部分的面积S131f(x)dx13f(x)dx.(2)阴影部分的面积S222g(x)dx.
