1、第2讲函数的单调性与最值考试要求1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性，B级要求知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间
2、D叫做函数yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，且x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)对于函数yf(x)，若f(1)0，易知f(x)在2，)是减函数，f(x)maxf(2)12.答案
3、2考点一确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)函数f(x)(x24)的单调递增区间为_(2)试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性(1)解析由x240，得x2或x0)tx24在(，2)上是减函数，且yt在(0，)上是减函数，函数f(x)在(，2)上是增函数，即f(x)单调递增区间为(，2)答案(，2)(2)解法一设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递减；当
4、a0，函数f(x)在(1,1)上递增规律方法(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)(2)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法(3)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则【训练1】 判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性，并给出证明解f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数证明如下：法一设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0
5、，上是减函数当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上是减函数，在，)上为增函数法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x0，0x0恒成立，试求实数a的取值范围(1)解析由于f(x)所以f(3)31，则f(f(3)f(1)3，当x1时，f(x)x是减函数，得f(x)0恒成立则x22xa0对x1，)上恒成立即a(x22x)在x1，)上恒成立令g(x)(x22x)(x1)21，x1，)，g(x)在1，)上是减函数，g(x)maxg(1)3.又a1，当30在x1，)上恒成立故实数a的取值范围是(3,1规律方法(1)求函数最值
6、的常用方法：单调性法；基本不等式法；配方法；图象法；导数法(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)【训练2】 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为_解析根据f(1x)f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x对称又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，则函数f(x)在
7、2,0上的最大值与最小值之和为f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.答案4考点三函数单调性的应用(典例迁移)【例3】 (1)如果函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是_(2)(2017南通中学模拟)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f0，则不等式f(logx)0的解集为_解析(1)对任意x1x2，都有0.所以yf(x)在(，)上是增函数所以解得a0可化为f或f，或x0，解得0x或1x3.所以原不等式的解集为.答案(1)(2)【迁移探究1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设mf()，nf(a)，tf(2)，试比较m，n
8、，t的大小解由例题知f(x)在(，)上是增函数，且a2，又a2，ff(a)f(2)，即mn0的解集是_解析因为f(x)在R上为偶函数，且f0，所以0等价于f，又f(x)在0，)上为减函数，所以，即x，解得x3.答案规律方法(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域(2)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解【训练3】 (2016天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|
9、a1|)f()，则a的取值范围是_解析f(x)在R上是偶函数，且在区间(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上是减函数，则f(2|a1|)f()f()，因此2|a1|2，又y2x是增函数，|a1|，解得a.答案思想方法1利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1)取值 ；(2)作差；(3)定号；(4)判断2确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性3求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到易错防范1区分两个概念：“函数的单调区间”和“
10、函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0 ,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x).基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_解析由图象易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是，)，令3，a6.答案62(2016北京卷改编)下列四个函数：y；ycos x；yln(x1)；y2x.其中在区间(1,1)上为减函数的是_(
11、填序号)解析y与yln(x1)在(1,1)上为增函数，且ycos x在(1,1)上不具备单调性，不满足题意只有y2xx在(1,1)上是减函数答案3定义新运算“”：当ab时，aba2；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，在区间2,2上的最大值为_解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.答案64(2017南京、盐城模拟)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析由于yx在R上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x
12、)在1,1上的最大值为f(1)3.答案35函数f(x)log(x24)的单调递增区间为_解析因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)答案(，2)6f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是_解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得80，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值(1)
13、证明设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数(2)解f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，f，f(2)2，易知a.10已知函数f(x)2x的定义域为(0,1(a为实数)(1)当a1时，求函数yf(x)的值域；(2)求函数yf(x)在区间(0,1上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值解(1)当a1时，f(x)2x，任取1x1x20，则f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2).1x1x20，x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1上单调递增，无最小值，当x
14、1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(，1(2)当a0时，yf(x)在(0,1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值2a；当a0时，f(x)2x，当1，即a(，2时，yf(x)在(0,1上单调递减，无最大值，当x1时取得最小值2a；当1，即a(2,0)时，yf(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x时取得最小值2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11(2017泰州一检)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析当a1，则yax为增函数，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)在0，)上为减函数，
15、不合题意当0a1，g(x)x24x3(x2)211，若f(a)g(b)，则g(b)(1,1，即b24b31，即b24b20，解得2b2.所以实数b的取值范围为(2，2)答案(2，2)13对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.答案114已知函数f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常数(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a(1,4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定a的
16、取值范围解(1)由x20，得0，当a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)，当a1时，定义域为x|x0且x1，当0a1时，定义域为x|0x1或x1(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)10.因此g(x)在2，)上是增函数，f(x)在2，)上是增函数则f(x)minf(2)ln.(3)对任意x2，)，恒有f(x)0.即x21对x2，)恒成立a3xx2.令h(x)3xx2，x2，)由于h(x)2在2，)上是减函数，h(x)maxh(2)2.故a2时，恒有f(x)0.因此实数a的取值范围为(2，).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
