1、高考原生态满分练1函数与导数典例(本题满分12分)(2021新高考,22)已知函数f(x)=x(1-ln x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且bln a-aln b=a-b,证明:21a+1be.学生解答教师批阅分析1:判断与讨论函数的单调性,必须首先研究函数的定义域.分析2:本题(2)问不等式的证明是典型的极值点偏移问题.在经过换元得到f(x1)=f(x2)后,应该结合极值点以及函数值的情况准确地得出x1,x2的取值区间,这样后面构造函数后才能判断函数在相应的区间上的单调性.分析3:式子f(x)f(2-x)的得出需要两个条件:一是x,2-x的取值区间,二是g
2、(x)=f(x)-f(2-x)在该区间上的单调性.分析4:不等式的变形必须是恒等的,且必须在一定的条件下.分析5:h(t)0,解得0x1;令f(x)=-lnx1.所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减.3分(2)证明 由blna-alnb=a-b得lnaa+1a=lnbb+1b,即f1a=f1b.(方法一)令x1=1a,x2=1b,则f(x1)=f(x2).4分由(1)知,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,且当x(0,e)时,f(x)0,当x(e,+)时,f(x)0,因此可设0x11x2e.要证21a+1be,即证2x1+x22.要证x
3、1+x22,即证x22-x1.因为0x11x22-x11,又f(x)在区间(1,+)上单调递减,所以只需证明f(x2)f(2-x1).而f(x1)=f(x2),因此只需证明f(x1)f(2-x1).6分构造函数g(t)=f(t)-f(2-t)(0t1).因为g(t)=f(t)+f(2-t)=-lnt-ln(2-t)=-ln(-t2+2t)=-ln1-(t-1)2,0t0,即g(t)在区间(0,1)上单调递增,于是当0t1时,g(t)g(1)=0,即f(t)f(2-t),从而当0x11时,必有f(x1)2成立.8分再证x1+x2x.9分若设f(x1)=f(x2)=m,直线y=x与直线y=m的交点
4、坐标为(m,m),则x1m.要证x1+x2e,即证m+x2e,亦即证f(x2)+x2e.10分构造函数h(t)=f(t)+t(1te).则h(t)=f(t)+1=-lnt+1,由于1t0,即h(t)在区间(1,e)上单调递增,因此当1te时,h(t)h(e)=f(e)+e=e,又因为1x2e,所以f(x2)+x2e,所以x1+x2e成立.综上可知21a+1ba0,由(1)知1a1,01b2成立,若11a2,设s(x)=f(x)-f(2-x),1x2.则s(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-lnx(2-x),因为1x2,所以0x(2-x)0.6分所以s(x)在区间(1,2
5、)上单调递增,所以s(x)s(1)=0,于是f1af2-1a,即f1bf2-1a.因为01b1,02-1a2-1a,即1a+1b2.8分因为lna+1a=lnb+1b,且ba0,设b=at(t1).则lna+1a=lna+lnt+1at,所以lna=lnt+1-tt-1.所以1a+1be1a+1atet+1ateln(t+1)-lnt-lna1ln(t+1)-lnt-lnt+1-tt-11(t-1)ln(t+1)-tlnt1),则h(t)=ln(t+1)+t-1t+1-1-lnt=ln(t+1)-lnt-2t+1=1t+1(t+1)ln(t+1)-(t+1)lnt-2,令g(t)=(t+1)ln(t+1)-(t+1)lnt-2,t1,则g(t)=ln(t+1)+1-lnt-t+1t=lnt+1t-t+1t+1,设n=t+1t,n1,p(n)=lnn-n+1,则p(n)=1n-1=1-nn0,所以p(n)p(1)=0-1+1=0,所以g(t)0,所以g(t)g(1)=2ln2-20,所以h(t)0,故h(t)在区间(1,+)上单调递减.所以h(t)h(1)=0,故(t-1)ln(t+1)-tlnt0成立,即1a+1be成立.综上可得21a+1be.12分5
