1、第十二章推理与证明、算法、复数 12.1合情推理与演绎推理考纲展示1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异考点1类比推理 类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有_的推理(2)特点：是由_到_的推理答案：(1)这些特征(2)特殊特殊教材习题改编在RtABC中，两直角边分别为a，b，设h为斜边上的高，则.由此类比：三棱锥SABC中的三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，且长度分别为a
2、，b，c，设棱锥底面ABC上的高为h，则_答案：解析：直角三角形的两直角边对应该三棱锥的三条两两垂直的侧棱，直角三角形斜边上的高对应该三棱锥底面上的高，类比得.事实上，在直角三角形中是由等面积法得到的，而在三棱锥中可由等体积法求得典题1(1)2017江西南昌模拟如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb(ab)若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF.用类比的方法，推想出下面问题的结果在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，ODC的面积分别为S1，S2，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是()AS0 BS0C. D.答案C解析在平面
3、几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质故由EF类比到关于OEF的面积S0与S1，S2的关系是.(2)2017贵州六校联考在平面几何中，ABC的C的内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_答案解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得，.点石成金类比推理的分类及处理方法类别解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形
4、的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何、等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法考点2归纳推理归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理(2)特点：是由_到_、由_到_的推理答案：(1)全部对象(2)部分整体个别一般(1)教材习题改编若数列an满足a11，an1(nN*)，则归纳出该数列的通项公式为_答案：an(nN
5、*)解析：由a11，an1，得a2，a3，a4，归纳猜想an(nN*)(2)教材习题改编观察下列不等式：1，11,1，1 2,1 ，由此猜测第n个不等式为_(nN*)答案：1解析：观察得出规律，左边为2n1个连续自然数的倒数和，右边的数分母为2、分子为n，由此可以猜测第n个不等式为1.合情推理的两种常见方法：归纳；类比(1)数列2,5,11,20，x,47， 中的x等于_答案：32解析：观察数列前几项，有523,1156,20119，由此可归纳得出x2012，即x32.(2)若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列 为等差数列，且通项为a1(n1).类似地，若各项均为正数
6、的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_答案：数列 为等比数列，且通项为b1()n1解析：类比等差数列的结论，得数列 为等比数列，且通项为b1()n1.考情聚焦归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法，也是创新的一种思维方式，因而成为高考考查的亮点，常以选择题、填空题的形式出现主要有以下几个命题角度：角度一数的归纳典题2(1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A.48,49 B62,63 C75,76 D84,85答案D解析由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠
7、窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D符合条件(2)2017陕西模拟观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*,12n21_.答案n2解析112,12122,1232132,123432142，归纳可得12n21n2.点石成金解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等角度二式的归纳典题3(1)观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135；照此规律，第n个等式可为_答案(n1)(n2)(n3)(n
8、n)2n135(2n1)解析观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项分别为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)已知f(x)，f1(x)f(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，经计算：f1(x)，f2(x)，f3(x)，照此规律，则fn(x)_.答案解析因为f1(x)，f2(x)，f3(x)，所以fn(x).(3)2017山东日照模拟设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_答案f(2n)(nN*)解析f(21)，f
9、(22)2，f(23)，f(24)，归纳，得f(2n)(nN*)点石成金1.与数字有关的等式的推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解2与不等式有关的推理，观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解角度三形的归纳典题4(1)2017重庆模拟某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A21 B34 C52 D55答案D解析因为211,321,532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为213455.(2)下面图形由小正方形组成，请观察图至图的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的
10、个数是_答案解析由题图知，第n个图形的小正方形个数为123n，总个数为.点石成金与图形变化有关的推理的解题策略合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性考点3演绎推理 1.演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由_到_的推理答案：一般特殊2“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提已知的_(2)小前提所研究的_(3)结论根据一般原理，对_做出的判断答案：(1)一般原理(2)特殊情况(3)特殊情况演绎推理的两个易错点：推理形式错误；大(小)前提错误(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小
11、数”是假命题，推理错误的原因是_(2)“所有是3的倍数的数都是9的倍数，m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的，错误的原因是_答案：(1)推理形式错误(2)大前提错误解析：(1)大前提与小前提之间没有包含关系，虽然使用了“三段论”，但推理形式错误(2)因为大前提错误，所以尽管推理的形式正确，结论仍然是错的.典题5已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点，对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值(1)证明函数f(x)的定义域为全体实数，让取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知y，则1y1
12、，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称(2)解由(1)知，1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.故f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.点石成金演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提方法技巧1.合情推理的过程2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来
13、进行易错防范1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明3演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性 真题演练集训 12016北京卷袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
14、B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案：B解析：解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误故选B.解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球依题意知，甲盒中有(nk)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(ks)个，丙盒中
15、共有(nk)个球，其中红球有(nks)个，黑球有(nk)(nks)s(个)所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多故选B.22014北京卷学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A2人 B3人 C4人 D5人答案：B解析：设学生人数为n，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当n4时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两
16、人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件，因此：n4，即n3.当n3时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，故n3，故选B.32015山东卷观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当nN*时，CCCC_.答案：4n1解析：由题知，CCCC4n1.42015福建卷一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校
17、验方程组：其中运算定义为：000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_答案：5解析：设a，b，c，d0,1，在规定运算法则下满足：abcd0，可分为下列三类情况：4个1：11110，2个1：11000，0个1：00000，因此，错码1101101通过校验方程组可得：由x4x5x6x70，11010；由x2x3x6x70，10010；由x1x3x5x70，10110.错码可能出现在x5上或x1与x4都错由已知只有第k位发生码元错误，故错误为x5，若x50，则检验方程组都成立，故k5.52014新
18、课标全国卷甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_答案：A解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过的同一城市应为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过的城市数应为2，乙去过的城市应为A. 课外拓展阅读 归纳不准确致误分析典例如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如表所示a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a
19、11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2 013a2 014a2 015等于()A1 004 B1 007 C1 011 D2 014易错分析本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇、偶项的关系本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2nn(nN*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n3a4n10(nN*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n为偶数时ann，就会得到a2 013a2 014a2 0152 014的错误结论，而选D.解析a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，这个数列的规律是奇数项为1，1,2，2,3，偶数项为1,2,3，故a2 013a2 0150，a2 0141 007，故a2 013a2 014a2 0151 007.答案B归纳总结由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为数学证明的工具提醒 完成课时跟踪检测(七十)
