1、第五章 函数应用 2 实际问题中的函数模型 2.2 用函数模型解决实际问题 知识点 1 实际问题的函数建模 1.%17￥2*6%(2020临川一中月考)某水果批发市场规定,批发苹果不少于 100 kg 时,批发价为每千克 2.5 元,小王携带现金 3 000 元到市场采购苹果,并以每千克 2.5 元买进,如果购买的苹果为 x kg,小王付款后的剩余现金为 y 元,则 y 与 x 之间的函数解析式为()。A.y=3 000-2.5x(100 x1 200)B.y=3 000-2.5x(100 x1 200)C.y=3 000-2.5x(0 x1 200)D.y=3 000-2.5x(0 x1 2
2、00)答案：A 解析：本题为一次函数模型,注意定义域。因为 3 0002.5=1 200,所以 100 x1 200,故选 A。2.%90￥8#2%(2020信阳联考)细菌繁殖时,细菌数随时间成倍增长。若实验开始时有 300 个细菌,以后的细菌数如下表所示:x/h 0 1 2 3 细菌数 300 600 1 200 2 400 据此表可推测实验开始前 2 h 的细菌数为()。A.75 B.100 C.150 D.200 答案：A 解析：由表中数据观察可得细菌数 y 与时间 x 的关系式为 y=3002x(xZ)。当 x=-2 时,y=3002-2=75。故选 A。3.%#4552*%(2020
3、济南一中期中月考)甲用 1 000 元人民币购买了一手股票,随即他将这手股票卖给乙,获利 10%,而后乙又将这手股票返卖给甲,但乙损失了 10%,最后甲按乙卖给甲的价格九折将这手股票卖给了乙,在上述股票交易中()。A.甲刚好盈亏平衡 B.甲盈利 1 元 C.甲盈利 9 元 D.甲亏本 1.1 元 答案：B 解析：因为甲第一次卖给乙时获利 10%,所以此时价格为 1 100 元,甲获利 1 100-1 000=100(元)。因为乙返卖给甲时损失 10%,所以此时价格为 1 1000.9=990(元)。甲再卖给乙时九折,所以此时价格为 9900.9=891(元),甲损失 990-891=99(元)
4、。所以甲共计获利 100-99=1(元)。故选 B。4.%￥0#7#64#%把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 T1(),空气的温度是 T0(),经过 t分钟后物体的温度 T()可由公式 T=T0+(T1-T0)e-0.25t 求得。把温度是 90的物体,放在 10的空气中冷却 t 分钟后,物体的温度是 50,那么 t 的值约等于(参考数据:ln 31.099,ln 20.693)()。A.1.78 B.2.77 C.2.89 D.4.40 答案：B 解析：由题意可知 50=10+(90-10)e-0.25t,整理得 e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2-0.693,
5、解得 t2.77。故选 B。5.%9￥4*34#%(北京高考)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c 为常数)。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c和 A 的值分别是()。A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 答案：D 解析：由条件可知,xA 时所用的时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个分段函数,即f(4)=30c=60,f(A)=15,所以 A=16。故选 D。6.%8#562￥%(2020深圳中学期中)麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏
6、大丰麋鹿国家级自然保护区成立于 1986 年,第一年(即 1986 年)只有麋鹿 100 头,由于科学的人工培育,这种当初濒临灭绝的动物的数量 y(头)与时间 x(年)的关系可以近似地由关系式 y=alog2(x+1)表示,则 2016 年它们的数量会发展到()。A.400 B.500 C.600 D.800 答案：B 解析：将 x=1,y=100 代入 y=alog2(x+1),得 100=alog2(1+1),解得 a=100。所以 y=100log2(x+1),所以 2016 年的数量约为 y=100log2(31+1)=100log232=500。故选 B。知识点 2 利用函数决策实际
7、问题 7.%￥6￥03￥#3%(2020大庆一中高一月考)目前全国新冠肺炎疫情形势日趋好转,为在复学之前有序做好学校新冠肺炎疫情防控工作,确保广大师生的身体健康和生命安全,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 t(h)成正比;药物释放完毕后,y 与 t的函数关系式为 y=()-(a 为常数),如图 5-2-2-1,根据图中提供的信息,回答相关问题。图 5-2-2-1(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 t(h)之间的函数关系式为 ;答案：y=()()-()解析：药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量
8、y(mg)与时间 t(h)成正比,则设函数为 y=kx(k0),将点(0.1,1)代入可得 k=10,则 y=10t;将点(0.1,1)代入 y=()-,得 a=。则所求解析式为 y=()()-()。(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 mg 以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 h 后,学生才能回到教室。答案：0.6 解析：令()-=0.6。8.%￥#6308%(2020荆州中学期中)某工程由 A,B,C,D 四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4 天。四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B 可以同时开工;A 完成后,C 可以开工;B,C 完
9、成后,D 可以开工。若该工程总时数为 9 天,则完成工序 C 需要的天数 x 最大是 。答案：3 解析：因为 A,B,C,D 都完成总用时为 9 天,而 D 需要单独工作 4 天,所以 A,B,C 都完成总用时为 5 天,而 B 用时为 5 天,所以 A,B 应在 5 天内完成,而 A 完成后 C 才可开工,所以 x+25,即 x3。9.%*88*8#0*%(2020福建福州高一检测)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下 5 个模拟函数:y=0.58x-0.16;y=2x-3
10、.02;y=x2-5.5x+8;y=log2x;y=()+1.74。请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选 。答案：解析：画出散点图如图。由图可知上述点大体在函数 y=log2x 上,故选择 y=log2x 可以近似地反映这些数据的规律。题型 利用数学建模思想解决实际问题 10.%02#31#%(2020武汉二中模拟)有时可用函数 f(x)=-来描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数(xN*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。(1)证明:当 x7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降;答案：证明:当
11、 x7 时,f(x+1)-f(x)=-,而当 x7 时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)0,故 f(x+1)-f(x)单调递减,所以当 x7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降。(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121,(121,127,(127,133。当学习某学科知识6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科。答案：解:由题意可知 0.1+15ln -=0.85,整理得 -=e0.05,解得 a=-620.56=123,而 123(121,127,由此可知,该学科是乙学科。11.%￥5￥801%(2020上
12、海浦东新区一模)某蔬菜基地种黄瓜,从历年市场行情可知,从二月一日起的 300 天内,黄瓜市场售价与上市时间的关系用如图 5-2-2-2所示的一条折线表示,黄瓜的种植成本与上市时间的关系用如图 5-2-2-2所示的抛物线表示。图 5-2-2-2(1)写出图 5-2-2-2中表示的市场售价与上市时间的函数关系式 P=f(t),写出图 5-2-2-2中表示的种植成本与上市时间的函数关系式 Q=g(t);答案：解:由图可得市场售价与上市时间的函数关系式为 P=f(t)=-。由图可得种植成本与上市时间的函数关系式为 Q=g(t)=(t-150)2+100,0t300。(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益,则何时上市黄瓜纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/千克,时间单位:天)答案：设从二月一日起的第 t 天的纯收益为 h(t),则由题意,得 h(t)=f(t)-g(t),即 h(t)=-。当 0t200 时,h(t)=-(t-50)2+100,所以当 t=50 时,h(t)在区间0,200上取得最大值 100。当 200t300 时,h(t)=-(t-350)2+100,所以当 t=300 时,h(t)在区间(200,300上取得最大值 87.5。综上可知,当 t=50 时,h(t)取得最大值,为 100,即从二月一日开始的第 50 天时,上市黄瓜纯收益最大。
