1、高考中解析几何问题的热点题型特级教师王恒雨圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现热点一圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题考查角度一圆锥曲线中的定点问题典题1已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上
2、异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点(1)解因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky24y4b0.根据根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2yAyB0，即2yAyB0，解得yAyB0(
3、舍去)或yAyB32.所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意2017河南洛阳模拟设M是焦距为2的椭圆E：1(ab0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：1(ab0)在点N(x0，y0)处的切线方程为1.若P是直线x2上任意一点，从P
4、向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标解：(1)由题意，2c2，c1，A(a,0)，B(a,0)，设M(x，y)，k1k2，即.M(x，y)在椭圆E上，1，a22b2.又a2b2c21，a22，b21.椭圆E的方程为y21.(2)设切点坐标为C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)则切线方程分别为y1y1，y2y1.两切线均过点P，ty11，ty21，即x1ty11，x2ty21，直线CD的方程为xty1.对于任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1,0)考查角度二圆锥曲线中的定值问题典题2如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0
5、,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值(1)证明依题意，设直线AB的方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线AO的方程为yx，直线BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为，注意到x1x28及x4y1，则有y2.因此点D在定直线y2上(x0)(2)解依题意知，切线l的斜率存在且不等于0，
6、设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2，y2得N1，N2的坐标为N1，N2，则|MN2|2|MN1|224228，即|MN2|2|MN1|2为定值8.1解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值第二步：探究一般情况探究一般情形下的目标结论第三步：下结论，综合上面两种情况定结论2求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程
7、中消去变量，从而得到定值2017江西南昌二中月考已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A，B两点，且满足|AF1|AF2|4，kOAkOB，O为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)证明：OAB的面积为定值(1)解：由椭圆的离心率为，可得，即ac.又2a|AF1|AF2|4，a2，c2，b24，椭圆方程为1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立整理得(12k2)x24mkx2m280，8(8k2m24)0，x1x2，x1x2，又kOAkOB，y1y2x1x2，又y1y2(kx1m)(kx2m)，即
8、4k22m2.设原点到直线AB的距离为d，则SOAB|AB|d|x1x2|22.当直线斜率不存在时，有A(2，)，B(2，)，d2，SOAB222.故OAB的面积为定值2.热点二圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题考查角度一求线段长度、三角形面积的最值典题32015山东卷平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1
9、)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值解(1)由题意知，2a4，则a2.又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知，椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，由题意知，Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.(*)则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积
10、为S|m|x1x2|2 .设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)(*)可知0t1，因此S22，故S2.当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由知，ABQ的面积为3S，所以ABQ的面积的最大值为6.圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法、基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值2017江西南昌模拟已知
11、圆E：x22经过椭圆C：1(ab0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且(0)(1)求椭圆C的方程；(2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程解：(1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2，F1，E，A三点共线，F1A为圆E的直径，AF123，AF2F1F2.令y0，则x22，解得x，c.|AF2|2|AF1|2|F1F2|2981，2a|AF1|AF2|4，a2b2c2，解得a2，b，椭圆C的方程为1.(2)由(1)得点A的坐标为(，1)，(0)，直线l的斜率为，故设直线l的方程为yxm，联立方程组消
12、去y，得x2mxm220，2m0，|MN|x2x1|.点A到直线l的距离d.SAMN|MN|d|m|.当且仅当4m2m2，即m时，直线l的方程为yx.考查角度二求几何量、某个参数的取值范围典题42017山东青岛模拟已知抛物线C1：y22px(p0)的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2y29上(1)求抛物线C1的方程；(2)已知椭圆C2：1(mn0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为.直线l：ykx4交椭圆C2于A，B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围解(1)设点G的坐标为(x0，y0)，由题意可知得x01，y02，p4，抛
13、物线C1的方程为y28x.(2)由(1)得抛物线C1的焦点F(2,0)，椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，椭圆C2的半焦距c2，m2n2c24，椭圆C2的离心率为，m4，n2，椭圆C2的方程为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x232kx160，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.由0(32k)2416(4k23)0k或k.原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则0，(x1，y1)(x2，y2)y1y2x1x2(kx14)(kx24)x1x2(k21)x1x24k(x1x2)16(k21)4k160k.由得，实数k的取值范围是.求参数范围的常用方法：(1)函数
14、法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的范围已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，中心在原点若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|AN|时，求m的取值范围解：(1)依题意可设椭圆方程为y21，则右焦点F(，0)，由题设3，解得a23.所求椭圆的方程为y21.(2)设P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P为弦MN的中点，由得(3k
15、21)x26kmx3(m21)0，直线与椭圆相交，(6km)24(3k21)3(m21)0m23k21.由根与系数的关系，得xMxN，xMxN.xP，从而yPkxPm，kAP，又|AM|AN|，APMN，则，即2m3k21.把代入，得m22m，解得0m0，解得m.综上，m的取值范围是.热点三圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题考查角度一探究是否存在常数的问题典题52015四川卷如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，
16、且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时
17、3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在考查角度二探究是否存在点的问题典题62017河北石家庄一模已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A为椭圆上一点，F1AF260，且SF1AF2.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由e可得a24c2，SF1AF2|AF1|
18、AF2|sin 60，可得|AF1|AF2|4，在F1AF2中，由余弦定理可得|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 604c2，又|AF1|AF2|2a，可得a2c23，联立得a24，c21，b23.椭圆C的方程为1.(2)设点P(x0，y0)，由得(4k23)x28kmx4m2120，由题意知64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230，x0，y0，P.由得Q(4,4km)，假设存在点M的坐标为(x1,0)，则，(4x1,4km)以PQ为直径的圆恒过点M，0，即4x1x30，(4x14)x4x130对任意k，m都成立则解得x11，故存在定点M(1,0)符合题
19、意解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明考查角度三探究存在性的问题典题72015新课标全国卷已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由(1)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线
20、OM的斜率kOM ，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)解四边形OAPB能为平行四边形理由如下：因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP .将点的坐标代入直线l的方程，得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分时成立，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解提醒 完成课时跟踪检测(五十六)
