1、第2讲等差数列考试要求1.等差数列的概念，B级要求；2.等差数列的通项公式与前n项和公式，C级要求；3.等差数列与一次函数、二次函数的关系，A级要求知 识 梳 理1等差数列的概念(1)如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A.2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.通项公式的推广
2、：anam(nm)d(m，nN*)(2)等差数列的前n项和公式Snna1d(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)3等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq.(2)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列4等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)5
3、等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()解析(4)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数(5)若公差d0，则前n项和不是二次函数答案(1)(2)(3)(4
4、)(5)2(2016江苏卷)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_解析设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320.答案203(2017盐城模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若S32a3，S515，则a2 016_.解析在等差数列an中，由S32a3知，3a22a3，而S515，则a33，于是a22，从而其公差为1，首项为1，因此ann，故a2 0162 016.答案2 0164在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_解析由题意知d0且即解得1d.答案5(必修5P40习题7改编
5、)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案180考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2016北京卷)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.(2)(2017盐城模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.解析(1)a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S666(2)6.(2)法一设数列an的首项为a1，公差为d，由S36，S412，可得解得即S66a115d30.法二由an为等差数列，故可设前n项和Sn
6、An2Bn，由S36，S412可得解得即Snn2n，则S636630.答案(1)6(2)30规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【训练1】 (2017南京师大附中模拟)在数列an中，若a12，且对任意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为_解析由2an112an得an1an，所以数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以S1010(2).答案考点二等差数列的
7、判定与证明(典例迁移)【例2】 (经典母题)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an【迁移探究1】 将本例条件“an2SnSn10(n2)，a1”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解(1)证明当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即S
8、nSn12(SnSn1)0.即.又.故数列是以首项为，公差为的等差数列(2)解由(1)知，Sn，当n2时，anSnSn1当n1时，a12不适合上式，故an【迁移探究2】 已知数列an满足2an1anan11(n2)，a12，证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式解当n2时，an2，1(常数)又1.数列是以首项为1，公差为1的等差数列1(n1)1，an.规律方法等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.后两种方法只
9、能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)(2015全国卷改编)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5_.(2)(2017洛阳统考)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9_.(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 017_.解析(1)an为等差数列，a1a52a3，由a1a3a53得3a33，则a31，S55a35.(2)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.(3)由等差数列的性质可得也为等差
10、数列设其公差为d.则6d6，d1.故2 016d2 0142 0162，S2 01722 0174 034.答案(1)5(2)45(3)4 034规律方法等差数列的性质是解题的重要工具(1)在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列(2)在等差数列an中，数列也成等差数列【训练3】 (1)(2017扬州中学质检)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为_(2)(2015广东卷)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.解析(1)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1a
11、n34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以Sn390，即n13.(2)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.答案(1)13(2)10考点四等差数列前n项和及其最值【例4】 (1)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.(2)(2017衡水月考)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是_解析(1)由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，
12、n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20100130.(2)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80且，则当Sn取最大值时，n的值为_解析由，得S11S9，即a10a110，根据首项a10可推知这个数列递减，从而a100，a110，故n10时，Sn最大答案10思想方法1在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解2证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列3等差数列性
13、质灵活使用，可以大大减少运算量易错防范1用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列2利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2017南京模拟)在等差数列an中，已知a1a710，则a3a5_.解析an是等差数列，a3a5a1a710.答案102(2017南通调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d_.解析法一由题意可得解得a15，d3.法二a1a72a48，a44，a4a2422d，d3.答案3
14、3(2015陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_解析设该数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得a12 01521 010，从而a15.答案54已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.解析S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案605(2017徐州、宿迁、连云港模拟)在等差数列an中，a13a8a15120，则3a9a11的值为_解析由a13a8a155a8120，得a824，故3a9a113(a18d)(a110d)2a114d2(
15、a17d)2a848.答案486设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37_.解析设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，anbn为等差数列，又a1b1a2b2100，anbn为常数列，a37b37100.答案1007(2017泰安模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若a211，a5a92，则当Sn取最小值时，n_.解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，由得解得an152n.由an152n0，解得n.又n为正整数，当Sn取最小值时，n7.答案78正项数列an满足a11，a22,2aaa
16、(nN*，n2)，则a7_.解析由2aaa(nN*，n2)，可得数列a是等差数列，公差daa3，首项a1，所以a13(n1)3n2，an，a7.答案二、解答题9(2016全国卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an首项为a1，公差为d，由题意有解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，40，y0，由基本不等式可得xy2，当且仅当xy时“”
17、成立又a60，a70，a6a724，当且仅当a6a72时，“”成立即a6a7的最大值为4.答案413设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析an，bn为等差数列，.，.答案14(2014江苏卷)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称an是“H数列”(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明：an是“H数列”；(2)设an是等差数列，其首项a11，公差d0，若an是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立(1)证明首先a1S
18、12，当n2时，anSnSn12n2n12n1，所以an所以对任意的nN*，Sn2n是数列an中的n1项，因此数列an是“H数列”(2)解由题意an1(n1)d，Snnd，数列an是“H数列”，则存在kN*，使nd1(k1)d，k1，由于N*，又kN*，则Z对一切正整数n都成立，所以d1.(3)证明首先，若dnbn(b是常数)，则数列dn前n项和为Snb是数列dn中的第项，因此dn是“H数列”，对任意的等差数列an，ana1(n1)d(d是公差)，设bnna1，cn(da1)(n1)，则anbncn，而数列bn，cn都是“H数列”，证毕.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
