1、6垂直关系61垂直关系的判定考纲定位重难突破1.了解线面垂直、面面垂直的定义2.理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义3.能运用判定定理证明线面、面面垂直.重点：线面垂直、面面垂直的判定难点：找(作)二面角的平面角方法：分类讨论思想在垂直关系中的应用.授课提示：对应学生用书第18页自主梳理一、直线与平面垂直1定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直2判定定理文字语言图形表示符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直l二、二面角及其平面角二面角定义从一条直线出发的这两个半平面所组成的图形叫作二面角，
2、这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面如图，记作：AB或l范围0180画法如图：二面角l若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则AOB就叫作二面角l的平面角三、平面与平面垂直1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直2判定定理文字语言图形表示符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直双基自测1下列条件中，能判定直线l平面的是()Al与平面内的两条直线垂直Bl与平面内的无数条直线垂直Cl与平面内的某一条直线垂直Dl与平面内的任意一条直线垂直解析：根据线面垂直的定义，可知当l垂直于内所有直线时，l.答案：D2已知直线l平面，l平面，
3、则()ABC或 D与相交但不一定垂直解析：根据面面垂直的判定定理知.答案：A3二面角的平面角是指()A两个平面相交的图形B一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角解析：由定义知，二面角的平面角是指以两个相交平面交线上的任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角答案：D4从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角的平面角的大小是()A60 B120C60或120 D不确定解析：若点P在二面
4、角内，则二面角的平面角为120，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.答案：C5一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A相等 B互补C相等或互补 D不确定解析：反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABD的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第19页探究一直线与平面垂直的判定典例1如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，
5、且MC2MB，求点C到平面POM的距离解析(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC知PO平面ABC.(2)如图，作CHOM，垂足为H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45.所以OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.1利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的“三个步骤”：(1)寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直(2)
6、确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线(3)判定：根据判定定理得出结论2线面垂直的三种判定方法：(1)用定义：证明l和平面内任意一条直线都垂直(2)用定理：证明l与平面内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直线面垂直(3)用推论：若m，证明lm，即可知l.1.如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，又SASB，所以ADSBDS，所以SDBD.又ACBDD，AC平面ABC，BD平面ABC，所以SD平
7、面ABC.(2)ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD，因为SDACD，所以BD平面SAC.探究二平面与平面垂直的判定典例2如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，点E在侧棱PB上求证：平面AEC平面PBD.解析PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC.又ABCD为正方形，ACBD，PDBDD，AC平面PBD.又AC平面AEC，平面AEC平面PBD.1证明平面与平面垂直，常用两种方法：(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线(2)证明二面角的平面角是直角2用平面与平面垂直的判定定理证明两平面垂直，关键是在一个平面内寻找垂直于另一个平面的直线在处理
8、具体问题时，应先从已知入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”2.如图，在空间四边形ABCD中，ABBC，CDDA，E，F，G分别为CD，DA和对角线AC的中点求证：平面BEF平面BGD.证明：ABBC，CDAD，G是AC的中点，BGAC，DGAC，又EFAC，EFBG，EFDG.EF平面BGD.EF平面BEF，平面BGD平面BEF.探究三线面垂直判定的综合应用典例3三棱锥PABC中，PO平面ABC，PABC，PBAC.求证：(1)O是ABC的垂心；(2)PCAB.解析(1)连接OA，OB.PO平面ABC，POBC.又PABC，POPAP，
9、BC平面PAO.又AO平面PAO，BCAO，即O在ABC的BC边的高线上同理，由PBAC可得O在AC边的高线上O是ABC的垂心(2)连接OC，由(1)可知OCAB.又由PO平面ABC得POAB，又OCPOO，AB平面PCO.又PC平面PCO，ABPC.根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化3.如图，在四面体PABC中，ABC与PBC是边长为2的正三角形，PA3，D为PA的中点，求二面角DBCA的大小解析：取BC的中点E，连接EA，ED，EP(图略)ABC与PBC是边长为2的正三角形
10、，BCAE，BCPE，又AEPEE，AE，PE平面PAE，BC平面PAE.而DE平面PAE，所以BCDE，AED即为二面角DBCA的平面角又由条件，知AEPEAB，ADPA，DEPA，sinAED，显然AED为锐角，AED60，即二面角DBCA的大小为60.对定理理解不透彻致误典例设，为不重合的两个平面，给出下列说法：若内的两条相交直线分别平行于平面，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与平面垂直的条件是l与内的两条直线垂直上面说法中正确的序号是_(写出所有的正确的序号)解析平面内的两条相交直线分别平行于平面，则两条
11、相交直线确定的平面平行于平面，正确平面外一条直线l与内的一条直线平行，则l平行于，正确如图所示，l，a，al，但不一定有，错误直线l与垂直的条件是l与内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误综上所述，正确说法的序号为.答案错因与防范本题易错选，错选是由al，a错误得出a垂直于平面；错选是忽视了“相交直线”这一前提条件一些常见的定理要认真领会，抓住关键字或词，一些判断项中往往不是直接考查的定理而是对定理的拓展，故要仔细分析、推导，以防出错随堂训练对应学生用书第20页1在正方体ABCDA1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是()A平面DD1C1CB平面A1B1CDC平面A1B1C1D
12、1 D平面A1DB解析：由于易证BC1B1C，又CD平面BCC1B1，所以CDBC1.因为B1CCDC，所以BC1平面A1B1CD.答案：B2给出以下说法：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()A BC D解析：由二面角的定义，可知错误，正确由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知正确，故选B.答案：B3给出下
13、列说法：如果直线l与平面不垂直，那么在内不存在与l垂直的直线；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行；过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条其中正确说法的序号是_解析：错误，因为在内至少可以找到一条直线与l垂直；正确；错误，因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直，所以直线也可能在平面内；正确故正确说法的序号是.答案：4.如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_解析：(1)因为PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有直线AB，AC，BC.(2)BCA90，即BCAC，又BCPC，ACPCC，所以BC平面PAC，PA平面PAC.BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC5.如图，四边形ABCD是菱形，PC平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE平面ABCD.证明：连接AC交BD于点O，连接OE.因为O为AC的中点，E为PA的中点，所以EO是PAC的中位线，EOPC.因为PC平面ABCD，所以EO平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.
