1、12.3数学归纳法考纲展示1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题考点1用数学归纳法证明等式 数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，这一步是归纳奠基假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立，这一步是归纳递推完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立(2)框图表示：答案：(1)nk1典题1用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等
2、式也成立由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立点石成金用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法考点2用数学归纳法证明不等式 典题2 用数学归纳法证明：12(nN*，n2)证明(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk时命题成立，即12.当nk1时，12222，命题成立由(1)(2)知，原不等式在nN*，n2时均成立点石成金用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应
3、用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.已知数列an，当n2时，an1，又a10，aan11a，求证：当nN*时，an1an.证明：(1)当n1时，a2是aa210的负根，a2a1.(2)假设当nk(kN*)时，ak1ak，aa(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nN*时，an10，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性(
4、1)解当n1时，由已知，得a11，则a2a120.a11(a10)当n2时，由已知，得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由可知，对所有nN*，an都成立点石成金 “归纳猜想证明”的基本步骤是“观察归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题角度二证明存在性问题典题4设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式
5、；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论解解法一：(1)a22，a31，再由题设条件知，(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明命题：a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31.故ca2k
6、31，因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.解法二：(1)a22，a31，可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1.则ak1111.这就是说，当nk1时结论成立所以an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)先证：0an1(nN*)当n1时，结论明显成立假设nk时结论成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上为减函数，从而0f(1)f(ak)f(0)11.即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立，故成立再证：a2na2n1(nN*)当n1时
7、，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，有a2a3，即n1时成立假设nk时，结论成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1.这就是说，当nk1时成立，所以对一切nN*成立由得a2n 1，即(a2n1)2a2a2n2，因此a2nf(a2n1)，即a2n1a2n2，所以a2n1 1，解得a2n1.综上，由知，存在c使a2nc0(nN*)(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明；(2)设x0，y0，且xy1，证明：.审题视角(1)将n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明(2)利用分析法，结合x0，y
8、0，xy1，利用基本不等式可证(1)解分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33.猜想：ann.2Snan，当n2时，2Sn1a(n1)，得2anaa1，即a2ana1.()当n2时，a2a2121，a20，a22.()假设当nk(k2)时，akk，那么当nk1时，a2ak1a12ak1k21，ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1.即当nk1时也成立ann(n2)显然n1时，也成立，故对于一切nN*，均有ann.(2)证明要证，只要证nx12ny12(n2)即n(xy)222(n2)，将xy1代入，得2n2，即只要证4(n2xyn1)(n2)2
9、，即4xy1.x0，y0，且xy1，即xy，故4xy1成立，所以原不等式成立答题模板第1步：寻找特例a1，a2，a3等第2步：猜想an的公式第3步：转换递推公式为an与an1的关系第4步：用数学归纳法证明an.验证递推公式中的第一个自然数n2.推证ak1的表达式为k1.补验n1，说明对于nN*成立第5步：分析法证明方法点睛(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值(3)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法如本题：2Sn1an1，2(SnSn1)aa1，推导an与an1的递推关系，再推出an，则不是数学归纳法(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于n的不等式，由xy1来推证，则不能称为数学归纳法提醒 完成课时跟踪检测(七十二)
