1、2.5 等比数列前 n 项和特色训练(一)一、等比数列前 n 项和的计算例 1 在等比数列an中，S372，S6632，求 an.分析 要求 an，需求首项 a1，公比 q，由条件可列出关于 a1 和 q 的两个方程，解方程组即可解：变式训练 1 在等比数列an中，a1an66，a3an2128，Sn126，求 n 和 q.解：二、利用等比数列前 n 项和的性质解题例 2 在等比数列an中，已知 Sn48，S2n60，求 S3n.分析 可用等比数列前 n 项和公式求解，也可用等比数列的性质 Sn，S2nSn，S3nS2n 成等比数列求解解：变式训练 2 等比数列的前 n 项和为 Sn，若 S1
2、010，S2030，S60630，求 S70 的值解：三、错位相减法的应用例 3 求和：Snx2x23x3nxn(x0)分析 分 x1 和 x1 两种情况解：变式训练 3 求数列 1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1 的前 n 项和解2.5 等比数列前 n 项和特色训练(二)一、等比数列前 n 项和的证明问题例 1 设an是由正数组成的等比数列，Sn 是其前 n 项和，证明：log0.5Snlog0.5Sn22log0.5Sn1.证明：变式训练 1 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n，求证：S2nS22nSn(S2nS3n)证明二、等比数列
3、前 n 项和的实际应用例 2 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿区计划从 2010 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%.(1)以 2010 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2010 年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35.解：变式训练 2 一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗？解三、
4、等差数列、等比数列的综合问题例 3 设an是等差数列，bn 12 an，已知：b1b2b3218，b1b2b318，求等差数列的通项 an.解变式训练 3 在等比数列an中，an0(nN*)，公比 q(0,1)，且 a1a52a3a5a2a825，又 a3 与 a5 的等比中项为 2.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog2 an，数列bn的前 n 项和为 Sn，当S11 S22 Snn 最大时，求 n 的值 2.5 等比数列前 n 项和特色训练(一)参考答案例 1 解 由已知 S62S3，则 q1，又 S372，S6632，即a1(1q3)1q72，a1(1q6)1q632.得 1
5、q39，q2.可求得 a112，因此 ana1qn12n2.变式训练 1 解 a3an2a1an，a1an128，解方程组a1an128，a1an66，得a164，an2，或a12，an64.将代入 Sna1anq1q，可得 q12，由 ana1qn1 可解得 n6.将代入 Sna1anq1q，可得 q2，由 ana1qn1 可解得 n6.故 n6，q12或 2.例 2 解 方法一 因为 S2n2Sn，所以 q1，由已知得a1(1qn)1q48a1(1q2n)1q60得 1qn54，即 qn14.将代入得 a11q64，所以 S3na1(1q3n)1q641143 63.方法二 因为an为等比
6、数列，所以 Sn，S2nSn，S3nS2n 也成等比数列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，所以 S3n(S2nSn)2SnS2n(6048)2486063.变式训练 2 等比数列的前 n 项和为 Sn，若 S1010，S2030，S60630，求 S70 的值解 设 b1S10，b2S20S10，则 b7S70S60.因为 S10，S20S10，S30S20，S70S60 成等比数列，所以 b1，b2，b7 成等比数列，首项为 b110，公比为 qb2b120102.求得 b71026640.由 S70S60640，得 S701 270.例 3 解(1)当 x1 时，Sn123nn(
7、n1)2.(2)当 x1 时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1x(1xn)1x nxn1.Snx(1xn)(1x)2 nxn11x.综上可得 Snn(n1)2 (x1)x(1xn)(1x)2 nxn11x(x1且x0).变式训练 3 解(1)当 a0 时，Sn1.(2)当 a1 时，数列变为 1,3,5,7，(2n1)，则 Snn1(2n1)2n2.(3)当 a1 且 a0 时，有 Sn13a5a27a3(2n1)an1aSna3a25a37a4(2n1)an得 SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an，(1a)
8、Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an2a(1an1)1a1(2n1)an2(aan)1a，又 1a0，Sn1(2n1)an1a2(aan)(1a)2.综上，Sn1 (a0)n2(a1)1(2n1)an1a2(aan)(1a)2(a0且a1).2.5 等比数列前 n 项和特色训练(二)参考答案例 1 证明 设an的公比为 q，由题设知 a10，q0，当 q1 时，Snna1，从而 SnSn2S2n1na1(n2)a1(n1)2a21a210.当 q1 时，Sna1(1qn)1q，从而 SnSn2S2n1a21(1qn)(1qn2)(1q)2a21(1qn1)2(1q)2
9、a21qn0.综上知，SnSn2log0.5S2n1.即log0.5Snlog0.5Sn22log0.5Sn1.变式训练 1 证明 方法一 设此等比数列的公比为 q，首项为 a1，当 q1 时，则 Snna1，S2n2na1，S3n3na1，S2nS22nn2a214n2a215n2a21，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a21，S2nS22nSn(S2nS3n)当 q1 时，则 Sn a11q(1qn)，S2n a11q(1q2n)，S3n a11q(1q3n)，S2nS22na11q2a11q2(1qn)2(22qnq2n)又 Sn(S2nS3n)a11q2(1qn)2
10、(22qnq2n)，S2nS22nSn(S2nS3n)方法二 根据等比数列性质，有 S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，S2nS22nS2n2S2n(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S2n(22qnq2n)S2nS22nSn(S2nS3n)例 2 解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1a，公比 q110%0.9，ana0.9n1(n1)(2)10 年的出口总量 S10a(10.910)10.910a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即 a810.910，a12.3.故 2010 年最多出口 12.3 吨变式训练 2 解 用
11、 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度，由题意，得 an145an，因此，数列an是首项 a125，公比 q45的等比数列热气球在前 n 分钟内上升的总高度为：Sna1a2ana1(1qn)1q251 45n1451251 45n 125.故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.例 3 解 设等差数列an的公差为 d，则bn1bn 12 an1 12 an 12 an1an 12d.数列bn是等比数列，公比 q 12d.b1b2b3b3218，b212.b1b3178b1b314，解得b118b32或b12b318.当b118b32时，q216，q4(q40舍去)此时，bnb1qn1 18 4n122n5.由 bn 1252n 12 an，an52n.当b12b318时，q2 116，q14q140，a3a55.又 a3 与 a5 的等比中项为 2，a3a54，而 q(0,1)，a3a5，a34，a51.q12，a116，an16 12n125n.(2)bnlog2 an5n，bn1bn1，bn是以 b14 为首项，1 为公差的等差数列，Snn(9n)2，Snn 9n2，当 n8 时，Snn 0；当 n9 时，Snn 0；当 n9 时，Snn 0.当 n8 或 9 时，S11 S22 S33 Snn 最大全 品中考网
