1、1(2015课标全国改编)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为_答案 2解析 如图，设双曲线 E 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则 AB2a，由双曲线的对称性，可设点 M(x1，y1)在第一象限内，过 M 作 MNx 轴于点 N(x1,0)，ABM 为等腰三角形，且ABM120，BMAB2a，MBN60，y1MNBMsinMBN2asin 60 3a，x1OBBNa2acos 602a.将点 M(x1，y1)的坐标代入x2a2y2b21，可得 a2b2，ecaa2b2a2 2.2.如图，已知椭圆 C
2、 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足 OPOF，且 PF4，则椭圆 C 的方程为_答案 x236y2161解析 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦距为 2c，右焦点为 F，连结 PF，如图所示，因为 F(2 5，0)为 C 的左焦点，所以 c2 5.由 OPOFOF知，FPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理，得 PF FF2PF24 52428.由椭圆定义，得 PFPF2a4812，所以 a6，a236，于是 b2a2c236(2 5)216，所以椭圆的方程为x236y2161.3(2017山西质量监测)已知 A，B 分
3、别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的右顶点和上顶点，直线 ykx(k0)与椭圆交于 C，D 两点，若四边形 ACBD 的面积的最大值为 2c2，则椭圆的离心率为_答案 22解析 设 C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，将 ykx 代入椭圆方程可解得x1abb2a2k2，x2abb2a2k2，则 CD 1k2|x1x2|2ab 1k2b2a2k2.又点 A(a,0)到直线 ykx 的距离 d1ak1k2，点 B(0，b)到直线 ykx 的距离 d2b1k2，所以 S 四边形 ACBD12d1CD12d2CD12(d1d2)CD12 bak1k22ab 1k2b2a2k2abbakb2
4、a2k2.令 tbakb2a2k2，则 t2b2a2k22abkb2a2k212abkb2a2k212ab1b2k a2k12ab 12ab2，当且仅当b2k a2k，即 kba时，tmax 2，所以 S 四边形 ACBD 的最大值为 2ab.由条件，得 2ab2c2，即 2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得 e212或 e21(舍去)，所以 e 22.4(2016北京)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.答案 2解
5、析 设 B 为双曲线的右焦点，如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2，cOB2 2，又AOB4，batan41，即 ab.又 a2b2c28，a2.5已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)和椭圆x216y291 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案 x24y231解析 由题意得，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点坐标为(7，0)，(7，0)，c 7且双曲线的离心率为 2 74 72 caa2，b2c2a23，所以双曲线的方程为x24y231.题型一 求圆锥曲线的标准方程例 1 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距
6、离分别为4 53 和2 53，过 P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为_答案 x253y2101 或3x210y251解析 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，PF14 53，PF22 53.由椭圆的定义，知 2aPF1PF22 5，即 a 5.由 PF1PF2 知，PF2 垂直于长轴故在 RtPF2F1 中，4c2PF21PF22609，c253，于是 b2a2c2103.又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上，故所求的椭圆方程为x253y2101 或3x210y251.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方
7、程中的参数，从而求得方程(2015天津改编)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为_答案 x2y231解析 双曲线x2a2y2b21 的一个焦点为 F(2,0)，则 a2b24，双曲线的渐近线方程为 ybax，由题意得2ba2b2 3，联立解得 b 3，a1，所求双曲线的方程为 x2y231.题型二 圆锥曲线的几何性质例 2(1)(2015湖南改编)若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_(2)(2016天津)设抛物线x2pt2，y2pt(t 为参数，p0)的焦点
8、为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A作 l 的垂线，垂足为 B.设 C72p，0，AF 与 BC 相交于点 E.若 CF2AF，且ACE 的面积为3 2，则 p 的值为_答案(1)53(2)6解析(1)由条件知 ybax 过点(3，4)，3ba 4，即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e53.(2)由x2pt2，y2pt(p0)消去 t 可得抛物线方程为 y22px(p0)，Fp2，0，ABAF32p，可得 A(p，2p)易知AEBFEC，AEFEABFC12，故 SACE13SACF133p 2p12 22 p23 2，p26，p0，p 6.思维升华 圆锥曲
9、线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与抛物线 y22px(p0)有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若 PQ 经过焦点 F，则椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为_答案 21解析 因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为p2，0，设椭圆另一焦点为 E.当 xp2时，代入抛物线方程得yp，又因为 PQ 经过焦点 F，所以 Pp2，p 且 PFOF.所以 PEp2p22p2 2p，PFp，EFp.
10、故 2a2pp,2cp，e2c2a 21.题型三 最值、范围问题例 3 设椭圆 M：y2a2x2b21(ab0)的离心率与双曲线 x2y21 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若直线 y 2xm 交椭圆 M 于 A，B 两点，P(1，2)为椭圆 M 上一点，求PAB 面积的最大值解(1)双曲线的离心率为 2，则椭圆的离心率 eca 22，由2a4，ca 22，b2a2c2a2，c 2，b 2，故椭圆 M 的方程为y24x221.(2)由y 2xm，x22y241，得 4x22 2mxm240，由(2 2m)216(m24)0，得2 2mb0)和椭圆 T2：
11、y2b2x2c21(bc0)组成，当 a，b，c 成等比数列时，称曲线 为“猫眼”(1)若“猫眼曲线”过点 M(0，2)，且 a，b，c 的公比为 22，求“猫眼曲线”的方程；(2)对于(1)中的“猫眼曲线”，任作斜率为 k(k0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1 所得弦的中点为 M，交椭圆 T2 所得弦的中点为 N，求证：kOMkON为与 k 无关的定值；(3)若斜率为 2的直线 l 为椭圆 T2 的切线，且交椭圆 T1 于点 A，B，N 为椭圆 T1 上的任意一点(点 N 与点 A，B 不重合)，求ABN 面积的最大值(1)解 由题意知，b 2，bacb 22，a2，c1，T1：x
12、24y221，T2：y22x21.(2)证明 设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，线段 CD 的中点为 M(x0，y0)，x0 x1x22，y0y1y22，由x214y2121，x224y2221，得x1x2x1x24y1y2y1y220.k 存在且 k0，x1x2 且 x00，故上式整理得y1y2x1x2y0 x012，即 kkOM12.同理，kkON2，kOMkON14.(3)解 设直线 l 的方程为 y 2xm，联立方程得y 2xm，y2b2x2c21，整理得(b22c2)x22 2mc2xm2c2b2c20，由 0，化简得 m2b22c2，取 l
13、1：y 2x b22c2.联立方程y 2xm，x2a2y2b21，化简得(b22a2)x22 2ma2xm2a2b2a20.由 0，得 m2b22a2，取 l2：y 2x b22a2，l1，l2 两平行线间距离d b22c2 b22a23，又 AB2 3ab 2a22c2b22a2，ABN 的面积最大值为 S12ABdab 2a22c2 b22c2 b22a2b22a2.题型四 定值、定点问题例 4(2016全国乙卷)设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明
14、EAEB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围解(1)因为 ADAC，EBAC，故EBDACDADC，所以 EBED，故 EAEBEAEDAD.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而 AD4，所以 EAEB4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)，AB2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x24y231(y0)(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由ykx
15、1，x24y231，得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23，所以 MN 1k2|x1x2|12k214k23.过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m：y1k(x1)，点 A 到 m 的距离为2k21，所以 PQ2422k21244k23k21.故四边形 MPNQ 的面积S12MNPQ12114k23.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 3)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，MN3，PQ8，四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8 3)思维升华
16、 求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：ANBM为定值(1)解 由已知ca 32，12ab1.又 a2b2c2，解得 a2，b1，c 3.椭圆方程为x24y21.(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆
17、上一点 P(x0，y0)，则x204y201.当 x00 时，直线 PA 方程为 y y0 x02(x2)，令 x0，得 yM2y0 x02.从而 BM|1yM|1 2y0 x02.直线 PB 方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xN x0y01.AN|2xN|2 x0y01.ANBM2 x0y01 1 2y0 x02x02y02y01x02y02x02x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y024x0y04x08y08x0y0 x02y024.当 x00 时，y01，BM2，AN2，ANBM4.故 ANBM 为定值题型五 探索性问题例 5(2015广东)已知过原点的动直
18、线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1 的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆 C1：x2y26x50 可化为(x3)2y24，圆 C1 的圆心坐标为(3,0)(2)设 M(x，y)，A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点，且 M 为 AB 的中点，由圆的性质知 MC1MO，MC1 MO 0.又MC1(3x，y)，MO(x，y)，由向量的数量积公式得 x23xy20.易知直线 l 的斜率
19、存在，设直线 l 的方程为 ymx，当直线 l 与圆 C1 相切时，d|3m0|m212，解得 m2 55.把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程，化简得 9x230 x250，解得 x53.当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为(3,0)又直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，53x3.点 M 的轨迹 C 的方程为 x23xy20，其中53x3.(3)由题意知直线 L 表示过定点(4,0)，斜率为 k 的直线，把直线 L 的方程代入轨迹 C 的方程 x23xy20，其中53x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中53x3，记 f(x)
20、(k21)x2(38k2)x16k2，其中530 时，若 x3 是方程的解，则 f(3)0k0另一根为 x053，故在区间53，3 上有且仅有一个根，满足题意；若 x53是方程的解，则 f 53 0k2 57 另外一根为 x6423，5364233，故在区间53，3上有且仅有一个根，满足题意；若 x3 和 x53均不是方程的解，则方程在区间53，3 上有且仅有一个根，只需 f 53 f(3)02 57 kb0)的离心率为 22，且过点(1，62)，过椭圆的左顶点 A 作直线 lx 轴，点 M 为直线 l 上的动点(点 M 与点 A 不重合)，点 B为椭圆的右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点
21、P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求证：APOM；(3)试问：OP OM 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由(1)解 因为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，所以 a22c2，所以 a22b2.又因为椭圆 C 过点(1，62)，所以 1a2 32b21，所以 a24，b22，所以椭圆 C 的方程x24y221.(2)证明 设直线 BM 的斜率为 k，则直线 BM 的方程为 yk(x2)，设 P(x1，y1)，将 yk(x2)代入椭圆 C 的方程x24y221 中，化简得(2k21)x28k2x8k240，解得 x14k222k21，x22，所以 y
22、1k(x12)4k2k21，从而 P(4k222k21，4k2k21)令 x2，得 y4k，所以 M(2，4k)，OM(2，4k)又因为AP(4k222k212，4k2k21)(8k22k21，4k2k21)，所以APOM 16k22k21 16k22k210，所以 APOM.(3)解 因为OP OM(4k222k21，4k2k21)(2，4k)8k2416k22k218k242k214，所以OP OM 为定值 4.1(2015陕西)如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，经过点 A(0，1)，且离心率为 22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆
23、 E 交于不同的两点 P，Q(均异于点 A)，证明：直线AP 与 AQ 的斜率之和为 2.(1)解 由题设知ca 22，b1，结合 a2b2c2，解得 a 2，所以椭圆的方程为x22y21.(2)证明 由题设知，直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(k2)，代入x22y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则 x1x24kk112k2，x1x22kk212k2，从而直线 AP，AQ 的斜率之和kAPkAQy11x1 y21x2 kx12kx1kx22kx22k(2k)1x11x2 2k(2k)x1x2x1x22k(
24、2k)4kk12kk22k2(k1)2.2已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 3 2，其中一条渐近线的方程为 x 2y0.以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B 两点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，PG 2GO，求|GA|2|GB|2 的取值范围解(1)由双曲线x2a2y2b21 的焦距为 3 2，得 c3 22，a2b292.由题意知ba 22，由解得 a23，b232，椭圆 E 的方程为x2323y21.(2)由(1)知 P(3，0)设 G(x0，y0)，由PG 2GO，得(x
25、0 3，y0)2(x0，y0)，即x0 32x0，y02y0，解得x0 33，y00，G(33，0)设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)，|GA|2|GB|2(x1 33)2y21(x1 33)2y212x212y21232x213x2123x21113.又x1 3，3，x210,3，113 x21113 203，|GA|2|GB|2 的取值范围是113，203 3已知椭圆x24y231 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 B，C 两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x4 交于点 M，N，问：x 轴上是否存在定点 P 使得 MPNP？
26、若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由解(1)由椭圆方程可得 a2，b 3，从而椭圆的半焦距 c a2b21.所以椭圆的离心率为 eca12.(2)依题意，直线 BC 的斜率不为 0，设其方程为 xty1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将其代入x24y231，整理得(43t2)y26ty90.所以 y1y2 6t43t2，y1y2 943t2.易知直线 AB 的方程是 y y1x12(x2)，从而可得 M(4，6y1x12)，同理可得 N(4，6y2x22)假设 x 轴上存在定点 P(p,0)使得 MPNP，则有PM PN0.所以(p4)236y1y2x12x220.将 x1ty
27、11，x2ty21 代入上式，整理得(p4)236y1y2t2y1y23ty1y290，所以(p4)2369t293t6t943t20，即(p4)290，解得 p1 或 p7.所以 x 轴上存在定点 P(1,0)或 P(7,0)，使得 MPNP.4.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且经过点 P(1，32)，过它的左，右焦点 F1，F2 分别作直线 l1 与 l2，l1 交椭圆于 A，B 两点，l2 交椭圆于 C，D 两点，且 l1l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围解(1)由ca12a2c，a24c2，b23c2，将点 P 的坐标代
28、入椭圆方程得 c21，故所求椭圆方程为x24y231.(2)若 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积 S6.若 l1 与 l2 的斜率都存在，设 l1 的斜率为 k，则 l2 的斜率为1k，则直线 l1 的方程为 yk(x1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组ykx1，x24y231，消去 y 并整理得(4k23)x28k2x4k2120.x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23，|x1x2|12 k214k23，AB 1k2|x1x2|12k214k23，注意到方程的结构特征和图形的对称性，可以用1k代替中的 k，得
29、 CD12k213k24，S12ABCD721k224k233k24，令 k2t(0，)，S721t24t33t4612t225t126t12t225t126612t12t 256 64928849，当且仅当 t1 时等号成立，S28849，6)，综上可知，四边形 ABCD 的面积 S28849，6*5(2016盐城三模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，直线 l 与 x 轴交于点 E，与椭圆 C 交于 A，B 两点当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C的右焦点时，弦 AB 的长为2 63.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 E
30、 的坐标为(32，0)，点 A 在第一象限且横坐标为 3，连结点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P，求PAB 的面积；(3)是否存在点 E，使得 1EA2 1EB2为定值？若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解(1)由 eca 63，设 a3k(k0)，则 c 6k，b23k2，所以椭圆 C 的方程为 x29k2 y23k21.因为直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点，即 xAxB 6k，代入椭圆方程，解得 yk，于是 2k2 63，即 k 63，所以椭圆 C 的方程为x26y221.(2)将 x 3代入x26y221，解得 y1.因
31、为点 A 在第一象限，从而 A(3，1)由点 E 的坐标为(32，0)，所以 kAB 23，所以直线 AB 的方程为 y 23(x 32)，联立直线 AB 与椭圆 C 的方程，解得 B(35，75)又 PA 过原点 O，于是 P(3，1)，PA4，所以直线 PA 的方程为 x 3y0，所以点 B 到直线 PA 的距离 h|35 7 35|23 35，故 SPAB1243 35 6 35.(3)假设存在点 E，使得 1EA2 1EB2为定值，设 E(x0,0)，当直线 AB 与 x 轴重合时，有 1EA2 1EB21x0 621 6x02122x206x202；当直线 AB 与 x 轴垂直时，1
32、EA2 1EB2221x20666x20，由122x206x20266x20，解得 x0 3，66x202，以若存在点 E，此时 E(3，0)，1EA2 1EB2为定值 2.根据对称性，只需考虑直线 AB 过点 E(3，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，又设直线 AB 的方程为 xmy 3，与椭圆 C 联立方程组，化简得(m23)y22 3my30，所以 y1y22 3mm23，y1y2 3m23.又 1EA21x1 32y211m2y21y211m21y21，所以 1EA2 1EB21m21y211m21y22y1y222y1y2m21y21y22，将上述关系代入，化简可得 1EA2 1EB22.综上所述，存在点 E(3，0)，使得 1EA2 1EB2为定值 2.
