1、专题06 两直线的交点坐标及两点间的距离公式要点一两条直线的交点坐标1求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可2应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系一般地，直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20的位置关系如表所示：方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数_1_个无数多个_0_个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【方法技巧】两直线相交的条件：将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2相交的
2、条件是A1B2A2B10或(A2，B20)若两直线斜率都存在，设两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2x b2，则l1与l2相交k1k2.要点二两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|_特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|【方法技巧】对两点间距离公式的理解：公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|，利用此公式可以将几何问题代数化当直线P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：法一：直线P1P2平行于x轴时|P1P2|x2x1|；法二：直线P1P2平行于y轴时|P1P2|y2y1|.【基础自测】1直线
3、x1和直线y2的交点坐标是()A(2,2)B(1,1) C(1,2) D(2,1)【答案】C【解析】由得交点坐标为(1,2)，故选C.2已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为()A5 B. C3 D.【答案】B【解析】由平面内两点间的距离公式可知|AB|.3已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|5，则a的值为()A4 B4或2 C2 D2或4【答案】D【解析】5，a4或2.题型一两直线的交点问题【探究1】判断两直线是否相交例】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：
4、4x2y40和l2：y2x3.【解析】(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.【方法技巧】两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二：两直线斜率都存在且斜率不等方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在【探究2】过两直线交点的直线方程【例2】求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程【解析】方法一解方程组得所以两直线的交点坐标为(，).又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直
5、线方程为y3(x)，即15x5y160.方法二设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得，代入(*)式得(2)x(3)y(23)0，即15x5y160.【变式探究】本例中若将“平行”改为“垂直”【解析】设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180.【方法技巧】过两条直线交点的直线方程的求法1常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2特殊解法(直线系法)：先
6、设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程【变式训练】1若三条直线2x3y80，xy10，xky0相交于一点，则k的值为()A2 B C2 D.【答案】B【解析】易求直线2x3y80与xy10的交点坐标为(1，2)，代入xky0，得k.故选B.2.直线l经过原点，且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为()A2xy0 B2xy0 Cx2y0 Dx2y0【答案】(2)B【解析】(2)设所求直线方程为2x3y8(xy1)0，即(2)x(3)y80，因为l过原点，所以8.则所求直线方程为2xy0.故选B.题型二两点间的距离公式的应用【例3
7、】已知ABC三顶点坐标A(3,1)、B(3，3)、C(1,7)，试判断ABC的形状【解析】方法一|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形方法二kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形【方法技巧】1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向2在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理【变式训练】(1)已知点A(3,4)，
8、B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值；(2)已知点M(x，4)与点N(2,3)间的距离为7，求x的值【解析】(1)设点P的坐标为(x,0)，则有|PA|，|PB|.由|PA|PB|，得x26x25x24x7，解得x.故所求点P的坐标为(，0).|PA|.(2)由|MN|7，得|MN|7，即x24x450，解得x19或x25.故所求x的值为9或5.题型三运用坐标法解决平面几何问题【例4】在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)【证明】设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(
9、a,0)|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)【方法技巧】利用坐标法解平面几何问题常见的步骤1建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；2用坐标表示有关的量；3将几何关系转化为坐标运算；4把代数运算结果“翻译”成几何关系【变式训练】已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.【证明】如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c) |AC|，|B
10、D|.故|AC|BD|.【易错辨析】应用直线系方程漏解引发的错误【例5】过两直线xy10和2xy40的交点，且到原点的距离为的直线方程【解析】设所求直线为xy1(2xy4)0，即(21)x(1)y410，由点到直线的距离公式得所以所求直线方程为2x11y200.因为原点到直线2xy40的距离也为，故直线2xy40也符合题意故所求的直线方程为2x11y200和2xy40.【易错警示】易错原因纠错心得应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线2xy40.直线系(21)x(1)x410表示经过两直线xy10和2xy40的交点，但不包括直线2xy40，而本题是特殊情况，因为原点到直线2xy40的距离也为.1
11、.若两条直线与的交点在轴上，那么的值为（ ）ABCD以上答案都不对【答案】B【解析】设交点在轴上为，则，可得，故无解，故选D2（2020南昌大学附属中学高二期中）过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与yxm平行，则|AB|的值为()A6B.C2D不能确定【答案】B【解析】由kAB1，得1，ba1.|AB| .3（2020山西高二期中）已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A2B4C5D.【答案】D【解析】根据中点坐标公式得到1且y，解得x4，y1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d.4（2020天津高二专题练习）已知
12、平面上两点A(x，x)，B，则|AB|的最小值为()A3B.C2D.【答案】D【解析】|AB|，当且仅当x时等号成立，|AB|min.5（多选）（2020福建省武平县第一中学高二月考）两直线（m+2）xy+m0，x+y0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（）A3B2C1D0【答案】ABD【解析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点于是m+20；m+21；（m+2）00+m0综上所述，m2且m3且m0故选ABD6（2020江苏省响水中学高二期中）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于_【答案】2【解析】设A(x,0)，B(0，y)
13、，AB中点P(2，1)，2，1，x4，y2，即A(4,0)，B(0，2)，|AB|2.7（2020江苏马坝高中高二月考）经过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10垂直的直线l的方程为_【答案】5x15y180【解析】由方程组得又所求直线与直线3xy10垂直，故k，直线方程为y，即5x15y180.8（2020江苏启东中学高二期中）在直线xy40上求一点P，使它到点M(2，4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为_【答案】【解析】设P点的坐标是(a，a4)，由题意可知|PM|PN|，即，解得a，故P点的坐标是.9（2020甘肃省武威第一中学高二期中）已知ABC的三个顶点是A(1
14、,0)，B(1,0)，C，试判断ABC的形状【解析】因为|BC| 1，|AB|2，|AC|，有|AC|2|BC|2|AB|2，所以ABC是直角三角形10（2020内蒙古集宁一中高二期末）已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.(1)求直线CM的方程；(2)求点P的坐标【解析】(1)设点C的坐标为(x，y)，因为在平行四边形ABCD中，ABDC，ADBC，所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，则解得即C(10,6)又点M是边AB的中点，所以M(4,1)，所以直线CM的方程为，即5x6y140.
15、(2)因为B(7,1)，D(4,6)，所以直线BD的方程为，即5x3y380.由解得即点P的坐标为.11（2020秋西城区校级期中）直线与的交点在第四象限，则的取值范围为ABCD【答案】C【解析】联立方程，可解得，由两直线与交点在第四象限可得，解此不等式组可得，即的取值范围为，故选：12（2020怀仁市第一中学校云东校区高二月考）已知点A(3，1)，B(5，2)，点P在直线xy0上，若使|PA|PB|取最小值，则P点坐标是()A(1，1)B(1,1)C.D(2,2)【答案】C【解析】点A(3，1)关于直线xy0的对称点为A(1，3)，直线AB的方程为yx，与xy0联立方程组并解得所以点P.13
16、（2020邯郸市永年区第一中学高二期末）设直线l经过2x3y20和3x4y20的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为_【答案】 xy40或xy240【解析】法一：联立得所以两直线的交点坐标为(14,10)由题意可得所求直线的斜率为1或1，所以所求直线的方程为y10x14或y10(x14)，即xy40或xy240.法二：设所求的直线方程为(2x3y2)(3x4y2)0，整理得(23)x(43)y220，由题意，得1，解得1或，所以所求的直线方程为xy40或xy240.14（2020福建省仙游县枫亭中学高二期末）已知直线l：x2y20，试求：(1)点P(2，1)关于直线l的对称点
17、坐标；(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程【解析】(1)设点P关于直线l的对称点为P(x0，y0)，则线段PP的中点在直线l上，且PPl.所以解得即P点的坐标为.(2)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2(x，y)一定在直线l上，反之也成立由得将(x1，y1)代入直线l的方程得，x2y40，即直线l的方程为x2y40.15（2020陕西高新一中高二期中）已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大；(2)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220，求证：l1与l2相交【解析】(1)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)(2)证明(反证法)：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，可推出k1k2代入k1k220，得k20，此与k1为实数相矛盾，从而k1k2即l1与l2相交
