1、高一年级第四次质量检测考试数学试题一、选择题:(本题1-8小题为单选题,每小题5分,共40分)1.复数的虚部为( )A. 2B. C. D. 2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间内的一个数来表示,该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民,他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的分位数是( )A. 7B. C. 8D. 3.如图正方形OABC的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积A. B. 1 C. D. 4某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x10,其均值和方差分别为和s
2、2若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A,s21002B100,s21002C,s2D100,s25.已知点,向量,则向量( )A. B. C. D. 6.在中,已知,则该三角形的形状是( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形7.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A30B45C60D90(第8题)8如图,在平行四边形ABCD中,ABBD,沿BD将ABD折起,使平面ABD平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面有( )
3、A1对B2对 C3对D4对以下为多项选择题:本题共4小题,共20分全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分9在某年的足球联赛中,甲球队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准差为1.1;乙球队每场比赛平均失球数是2.1,全年失球个数的标准差是0.4下列说法中正确的有( )A.平均来说甲球队的防守比乙球队的好;B.乙球队比甲球队防守状况更稳定;C.甲队有时表现很差,有时表现又非常好;D.乙队很少失球10.有下列说法,其中错误的说法为( )A. 若,则B. 若,则是三角形的垂心C. 两个非零向量,若,则与共线且反向D. 若,则存在唯一实数使得11.设,是三条不同的直线,是两个不
4、重合的平面,给定下列命题,其中正确的为( )A. ; B. ;C. D. .(12题图)12如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF,则下列结论正确的是( )AACBE BEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值 DAEF的面积与BEF的面积相等二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知复数z1i(i为虚数单位)是关于x的方程x2pxq0(p,q为实数)的一个根,则p+q_14.若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为_15.函数在处取得最大值,则 _16如图,以等腰RtABC斜边BC上的高A
5、D为折痕,使ABD和ACD折成互相垂直的两个平面,则(第16题图)(1)BD与CD的位置关系为_;(2)BAC_三、解答题(本题共6小题,第17小题10分,18-22每小题12分,)17 已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2)(1)若c2,且ac,求c的坐标;(2)若b,且a2b与2ab垂直,求a与b的夹角18在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c且m(sin A,sin B),n(cos B,cos A),mnsin 2C(1)求角的大小;(2)若,求ABC的面积的最大值19如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD对角线的交点求证:(第19题图)(
6、1)C1O面AB1D1;(2)A1C面AB1D120近年来城市“共享单车”服务在我国各地快速发展,共享单车为人们出行提供了很大的便利,但也给城市的管理带来了一些困难现某市为了解人们对“共享单车”投放的认可度,在15,45年龄段的人群中随机抽取了n人,进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查,根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组号分组赞成投放的人数赞成投放的人数占本组的频率第一组15,20)1200.6第二组20,25)195p第三组25,30)1000.5第四组30,35)a0.4第五组35,40)300.3第六组40,45)150.3(第20题)(1)求n,a,p
7、的值;(2)若要在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的样本中,用比例分配的分层随机抽样方法抽取7人参加“共享单车骑行体验活动”,则第四、五、六组分别抽取的人数为多少?(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人作为领队,求所选派的2人中第五组至少有一人的概率21.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O为AC的中点,PA底面ABCD,(第21题图)PAAB,点M在棱PD上,PB平面ACM(1)试确定点M的位置,并说明理由;(2)证明:平面ACM平面PCD(3)求点D到平面ACM的距离(第22题图)22如图,DC平面ABC,EBDC,ACBCEB2DC2,ACB120,P,Q分
8、别为AE,AB的中点(1)证明:PQ平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值高一年级第四次质量检测考试数学试题答案(时间120分,满分150分)一、单项选择题: B C A D A C C C多选题 ABC AD CD ABC三、填空题1301415.16(1)BDCD;(2)60三、解答题17(1)设c(x,y),由c2,且ac,可得所以c(2,4)或c(2,4)(2)若a2b与2ab垂直,则(a2b)(2ab)0,即2a23ab2b20于是ab,从而cos1,所以18(1)由题意,得mnsinAcosBsinBcosAsin2C,即sin(AB)sin2C 又sin(AB)sin
9、C0,于是可得sinC2sin Ccos C,所以cosC又0C,因此C(2)由已知得c2a2b22abcos Ca2b2ab2abab,即ab4(当且仅当ab2时取等号)故ABC的面积SabsinCab,即ABC 的面积的最大值是19(1)如图,连接A1C1,连接B1D1设A1C1B1D1O1,连接AO1 ABCDA1B1C1D1是正方体, A1ACC1是平行四边形, A1C1AC且A1C1AC又O1,O分别是A1C1,AC的中点, O1C1AO,且O1C1AO, AOC1O1是平行四边形, C1OAO1又AO1面AB1D1,C1O面AB1D1, C1O平面AB1D1(2) CC1面A1B1
10、C1D1, CC1B1D1又A1C1B1D1, B1D1面A1C1C又A1C面A1C1C, A1CB1D1同理可证A1CAB1又D1B1AB1B1, A1C平面AB1D120(1)由频率表中第五组数据可知,第五组的总人数为100;结合频率分布直方图可知n1 000,所以a0.0351 0000.4=60因为第二组的频率为0.3,所以P0.65(2)因为第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人数为105,则用比例分配的分层随机抽样的方法知,从第四、五、六组抽取的人数分别为4,2,1(3)记从第四组抽取的4人分别为A1,A2,A3,A4从第五组抽取的2人分别为B1,B2,从第六组抽取的1人为C,则从
11、7人中随机抽取2名领队所有可能的结果为A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2C,A3A4,A3B1,A3B2,A3C,A4B1, A4B2,A4C,B1B2,B1C,B2C共21种等可能的结果其中所选派的2人中第五组至少有一人的所有可能结果为A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2,B1C,B2C,共11种(第21题)所以选派的2人中第五组至少有一人的概率P21(1)点M为PD的中点理由如下:连接BD设BDACO,则点O为BD的中点,连接OM PB平面ACM,PB平面PBD,平面PB
12、D平面ACMOM, PBOM,在PBD中, O为BD的中点,OM为PBD的中位线, 点M为PD的中点(2)底面是边长为1的正方形,PAAB,又由(1)知M是PD的中点 22(1) P,Q分别为AE,AB的中点, PQEB又 DCEB, PQDC又PQ平面ACD,PQ平面ACD(2)如图,连接CQ,DPQ为AB的中点,且ACBC, CQAB DC平面ABC,EBDC, EB平面ABC, CQEB, CQ平面ABE由(1)有PQDC,又 PQEBDC, 四边形CQPD为平行四边形, DPCQ, DP平面ABE, DAP为AD和平面ABE所成的角在RtDPA中, AD,DP1,sinDAP, AD和平面ABE所成角的正弦值为