1、高中物理破解神秘的万有引力定律一、考点突破知识点考纲要求题型分值万有引力定律理解万有引力定律会用万有引力定律计算选择题解答题610分一、万有引力定律1. 内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。2. 公式：，其中，称为引力常量。3. 适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离。对于均匀的球体，r是两球心间的距离。二、对万有引力公式的几点说明1. 式中的质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N，G是比例系数，叫做引力常量，
2、G在数字上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时相互作用力的大小。2. 自然界中一般的物体间的万有引力很小（远小于地球与物体间的万有引力和物体间的其他力），因而可以忽略不计，但考虑天体运动和人造卫星运动的问题时，必须考虑万有引力，这种情况下万有引力非常大，且正是这个万有引力提供了天体和卫星做匀速圆周运动所需的向心力。3. 不能将公式中r做纯数学处理而违背物理事实。如认为r趋于0时，引力F无穷大，这是错误的，因为当物体间的距离r趋于0时，物体不可以看成质点，所以公式就不能直接应用计算。三、对万有引力定律的几点理解1. 万有引力的普遍性：万有引力定律是普遍存在与宇宙中任何有质量的物体（大到天体、小
3、到微观粒子）间相互吸引力。2. 万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律，大小相等，方向相反。3. 万有引力的宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。4. 万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在的空间的性质无关，和周围有无其他物体无关。四、万有引力定律与圆周运动结合 因为天体运动近似看做圆周运动，故万有引力可视为天体做圆周运动时的向心力，故有，其中M为中心天体的质量。m为环绕天体质量。例题1 对于万有引力定律的数学表达式，下列说法正确的是（
4、）A. 公式中G为引力常数，是人为规定的B. r趋近于零时，万有引力趋于无穷大C. m1、m2之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关D. m1、m2之间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力思路分析：公式中G为引力常量，由卡文迪许通过实验测得，故A错误；公式中从数学角度讲，当R趋近于零时其值是趋于无穷大，然而这是物理公式，所以r不可能为零。万有引力公式只适合于两个可以看作质点的物体，即，物体（原子）的自身半径相对两者的间距可以忽略时适用。而当距离无穷小时，相邻的两个原子的半径远大于这个距离，它们不再适用万有引力公式，故B错误；m1、m2之间的万有引力是属于相互作用力
5、，所以总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关，却与它们的质量乘积有关，故C正确。m1、m2之间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，不是一对平衡力，故D错误。答案：C例题2 （广东高考）如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A. 甲的向心加速度比乙的小B. 甲的运行周期比乙的小C. 甲的角速度比乙的大D. 甲的线速度比乙的大思路分析：根据卫星运动的向心力由万有引力提供由，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故A正确；由，甲的中心天体质量小于乙的中心天体质量，故甲的周期大于乙的周期，故B错误；由，甲的中心天体质量小
6、于乙的中心天体质量，故甲的角速度小于乙的角速度，故C错误；D、，由于甲的中心天体质量小于乙的中心天体质量，故甲的线速度小于乙的线速度，故D错误。答案：A例题3 开普勒1609年一1619年发表了著名的开普勒行星运行三定律，其中第三定律的内容是：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它于1687年发表在牛顿的自然哲学的数学原理中（1）请从开普勒行星运动定律等推导万有引力定律（设行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动）；（2）万有引力定律的正确性可以通过“月地检验”来证明：如果重力与星体间的引力是同种性质的力，都与距离的二次方成反比关系，
7、那么，由于月心到地心的距离是地球半径的60倍；月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是重力加速度的1/3600试根据上述思路并通过计算证明：重力和星体间的引力是同一性质的力（已知地球半径为6.4106m，月球绕地球运动的周期为28天，地球表面的重力加速度为9.8m/s2）思路分析：（1）设行星的质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，公转周期为T，太阳对行星的引力为F。太阳对行星的引力提供行星运动的向心力根据开普勒第三定律得：故 根据牛顿第三定律，行星和太阳间的引力是相互的，太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，反过来，行星对太阳的引力大小也与太阳的质量成正比，所
8、以太阳对行星的引力F写成等式有 （G为常量）。（2）月球绕地球做圆周运动的向心加速度为月球做圆周运动的向心加速度与地球表面重力加速度的比为所以，两种力是同一种性质的力。例题4 （广东高考）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的运动周期相同
9、，第二种形式下星体之间的距离应为多少？思路分析：（1）在第一种形式下：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力。解得，则有 （2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行由万有引力定律和牛顿第二定律得 由解得答案：（1）星体的线速度为，周期为；（2）星体间距离为【高频疑点】物体在地面上所受到的万有引力与重力的区别和联系1. 万有引力和重力重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地
10、球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即，常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即，比较得。在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有FF向mg，所以，因地球的自转角速度很小，所以。假设地球自转加快，即自变大，由知物体的重力将变小，当时，mg=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度，比现在地球自转角速度要大得多。2
11、. 黄金代换由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑（忽略）地球自转的影响下，在地球附近有，化简得，通常叫做黄金代换，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的重力加速度g代换M。【综合拓展】重力加速度的基本计算方法1. 在地球表面附近（hR）处的重力加速度方法一：根据万有引力定律有，式中M=5.891024kg，R=6.37106m。方法二：利用地球平均密度的关系，得。方法三：利用第一宇宙速度，式中v1=7.9 km/s ，R=6.37106 m2. 在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1根据万有引力定律，得，
12、则。3. 质量为、半径为R的任意天体表面的重力加速度根据万有引力定律，有，则。【满分训练】已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的。求：（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？思路分析：（1）设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，地球质量为M，半径为R，地面重力加速度为g，在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为： ，由月球表面万有引力等于重力，可得，解得：，同理可得：。在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比：。（2）设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，可知：解得：。在水平方向做匀速直线运动，其在月球和地球表面水平射程之比为。答案：（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比5.6。（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为2.37。
