1、高一年级第四次质量检测考试数学试题一、选择题：(本题1-8小题为单选题，每小题5分，共40分)1.复数的虚部为（ ）A. 2B. C. D. 2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（ ）A. 7B. C. 8D. 3.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积A. B. 1 C. D. 4某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s
2、2若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A，s21002B100，s21002C，s2D100，s25.已知点，向量，则向量（ ）A. B. C. D. 6.在中，已知，则该三角形的形状是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形7.在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A30B45C60D90(第8题)8如图，在平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有( )
3、A1对B2对 C3对D4对以下为多项选择题：本题共4小题，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9在某年的足球联赛中，甲球队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙球队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4下列说法中正确的有( )A.平均来说甲球队的防守比乙球队的好；B.乙球队比甲球队防守状况更稳定；C.甲队有时表现很差，有时表现又非常好；D.乙队很少失球10.有下列说法，其中错误的说法为（ ）A. 若，则B. 若，则是三角形的垂心C. 两个非零向量，若，则与共线且反向D. 若，则存在唯一实数使得11.设，是三条不同的直线，是两个不
4、重合的平面，给定下列命题，其中正确的为（ ）A. ； B. ；C. D. .(12题图)12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论正确的是( )AACBE BEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值 DAEF的面积与BEF的面积相等二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知复数z1i(i为虚数单位)是关于x的方程x2pxq0(p，q为实数)的一个根，则p+q_14.若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为_15.函数在处取得最大值，则 _16如图，以等腰RtABC斜边BC上的高A
5、D为折痕，使ABD和ACD折成互相垂直的两个平面，则(第16题图)(1)BD与CD的位置关系为_；(2)BAC_三、解答题(本题共6小题，第17小题10分，18-22每小题12分，)17 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若c2，且ac，求c的坐标；(2)若b，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角18在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C(1)求角的大小；(2)若，求ABC的面积的最大值19如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点求证：(第19题图)(
6、1)C1O面AB1D1；(2)A1C面AB1D120近年来城市“共享单车”服务在我国各地快速发展，共享单车为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难现某市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，在15，45年龄段的人群中随机抽取了n人，进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组号分组赞成投放的人数赞成投放的人数占本组的频率第一组15，20)1200.6第二组20，25)195p第三组25，30)1000.5第四组30，35)a0.4第五组35，40)300.3第六组40，45)150.3(第20题)(1)求n，a，p
7、的值；(2)若要在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的样本中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取7人参加“共享单车骑行体验活动”，则第四、五、六组分别抽取的人数为多少？(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人作为领队，求所选派的2人中第五组至少有一人的概率21.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O为AC的中点，PA底面ABCD，(第21题图)PAAB，点M在棱PD上，PB平面ACM(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)证明：平面ACM平面PCD(3)求点D到平面ACM的距离(第22题图)22如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分
8、别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值高一年级第四次质量检测考试数学试题答案(时间120分，满分150分)一、单项选择题： B C A D A C C C多选题 ABC AD CD ABC三、填空题1301415.16(1)BDCD；(2)60三、解答题17(1)设c(x,y)，由c2，且ac，可得所以c(2,4)或c(2,4)(2)若a2b与2ab垂直，则(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20于是ab，从而cos1，所以18(1)由题意，得mnsinAcosBsinBcosAsin2C，即sin(AB)sin2C 又sin(AB)sin
9、C0，于是可得sinC2sin Ccos C，所以cosC又0C，因此C(2)由已知得c2a2b22abcos Ca2b2ab2abab，即ab4(当且仅当ab2时取等号)故ABC的面积SabsinCab，即ABC 的面积的最大值是19(1)如图，连接A1C1，连接B1D1设A1C1B1D1O1，连接AO1 ABCDA1B1C1D1是正方体， A1ACC1是平行四边形， A1C1AC且A1C1AC又O1，O分别是A1C1，AC的中点， O1C1AO，且O1C1AO， AOC1O1是平行四边形， C1OAO1又AO1面AB1D1，C1O面AB1D1， C1O平面AB1D1(2) CC1面A1B1
10、C1D1， CC1B1D1又A1C1B1D1， B1D1面A1C1C又A1C面A1C1C， A1CB1D1同理可证A1CAB1又D1B1AB1B1， A1C平面AB1D120(1)由频率表中第五组数据可知，第五组的总人数为100；结合频率分布直方图可知n1 000，所以a0.0351 0000.4=60因为第二组的频率为0.3，所以P0.65(2)因为第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人数为105，则用比例分配的分层随机抽样的方法知，从第四、五、六组抽取的人数分别为4，2，1(3)记从第四组抽取的4人分别为A1，A2，A3，A4从第五组抽取的2人分别为B1，B2，从第六组抽取的1人为C，则从
11、7人中随机抽取2名领队所有可能的结果为A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A3A4，A3B1，A3B2，A3C，A4B1， A4B2，A4C，B1B2，B1C，B2C共21种等可能的结果其中所选派的2人中第五组至少有一人的所有可能结果为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，B1C，B2C，共11种(第21题)所以选派的2人中第五组至少有一人的概率P21(1)点M为PD的中点理由如下：连接BD设BDACO，则点O为BD的中点，连接OM PB平面ACM，PB平面PBD，平面PB
12、D平面ACMOM， PBOM，在PBD中， O为BD的中点，OM为PBD的中位线， 点M为PD的中点(2)底面是边长为1的正方形，PAAB,又由（1）知M是PD的中点 22(1) P，Q分别为AE，AB的中点， PQEB又 DCEB， PQDC又PQ平面ACD，PQ平面ACD(2)如图，连接CQ，DPQ为AB的中点，且ACBC， CQAB DC平面ABC，EBDC， EB平面ABC， CQEB， CQ平面ABE由(1)有PQDC，又 PQEBDC， 四边形CQPD为平行四边形， DPCQ， DP平面ABE， DAP为AD和平面ABE所成的角在RtDPA中， AD，DP1，sinDAP， AD和平面ABE所成角的正弦值为