1、4对数第1课时对数及其运算内容标准学科素养1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.精确概念定义熟练等价转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第49页基础认识知识点一对数的概念解指数方程：3x，可以化为3x，所以x，那么你会解3x2吗？提示：不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念知识梳理对数的概念(1)对数的概念一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb.其中a叫作对数的底数，N叫作真数(2)对数与指数的关系当a0，且a1时，axNxlogaN.知识点二常用对数
2、和自然对数结合教材P79例1和例2，你认为指数式与对数式互化应分哪几步？提示：第一步：将指(对)数式写成规范形式；第二步：依对数的定义实现互化知识梳理常用对数和自然对数(1)常用对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lg N.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e2.718 28为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.知识点三对数的基本性质(1)lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？提示：1,2，2,0,1.(2)为什么对数式xlogaN中规定底数a0且a1?提示：由于对数式xlogaN中的a来自于
3、指数式axN中的a，所以当规定了axN中的a0，且a1时，对数式xlogaN中的a也受到相同的限制(3)为什么负数和零没有对数？提示：由于axN0，所以xlogaN中的N0. 知识梳理对数的基本性质(1)负数和零没有对数(2)loga10(a0，a1)(3)logaa1(a0，a1)思考：1.当a，N在什么范围取值时对数式logaN有意义？提示：a0且a1，N0.2幂运算和对数运算有什么关系？提示：在关系式axN中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N，求x，就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算3任何指数式都可以直接化为对数式吗？提示：并不是任何指数式都可以直接化
4、为对数式，如(2)24，就不能直接写成log242，只有符合a0且a1，N0时，才有axNxlogaN.自我检测12x3化为对数式是()Axlog32 Bxlog23C2log3x D2logx3解析：2x3，xlog23.答案：B2若log3x3，则x()A1 B3C9 D27解析：log3x3，x3327.答案：D3已知log2x3，则_.解析：log2x3，x238，答案：2授课提示：对应学生用书第50页探究一对数的概念例1求下列各式中x的取值范围(1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1)2.解析(1)由题意得x100，解得x10.(2)由题意得
5、即x1，且x2.(3)由题意得解得x1，且x0，x1.方法技巧解决使对数式有意义的参数问题，只要根据对数的定义，由真数大于零、底数大于零且不等于1得到关于未知数(一般是x)的不等式(组)，解之即可跟踪探究1.求f(x)logx的定义域解析：要使函数式有意义，需解得0x1.f(x)logx的定义域为(0,1)探究二利用指数式与对数式的关系互化求值例2将下列指数式与对数式互化：(2)4364；(3)32；(4)1030.001.思路点拨利用当a0，且a1时，logaNbabN进行互化解析(1)327.(2)log4643.(3)log32.(4)lg 0.0013.方法技巧1.logaNb与abN
6、(a0，且a1)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系如图：2根据这个关系可以将指数式与对数式互化：将指数式化为对数式，只需将幂作为真数，指数作为对数值，底数不变；而将对数式化为指数式，只需将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变跟踪探究2.将下列指数式与对数式互化：(1)22；(2)102100；(3)ea16；(4)log64；(5)logxyz.解析：(1)log22.(2)log101002，即lg 1002.(3)loge16a，即ln 16a.(4) .(5)xzy.例3求下列各式中x的值：(1)4x53x；(2)log7(x2)2；(4)logx27；(5)lg 0.0
7、1x.思路点拨利用指数式与对数式的关系求解解析(1)4x53x，5，x5，.方法技巧指数式axN与对数式xlogaN(a0，且a1)表示了三个量a，x，N之间的关系，因而已知其中两个可求第三个：已知底数与指数，用指数式求幂；已知指数与幂，用指数式求底数；已知底数与幂，利用对数式表示指数跟踪探究3.求下列各式中的x值：(1)log2x；(2)log216x；(3)logx273.解析：(1)log2x，x，x.(2)log216x，2x16，2x24，x4.(3)logx273，x327，即x333，x3.探究三利用对数性质与对数恒等式求值例4求下列各式中x的值：(1)log2(log4x)0；
8、(2)log3(lg x)1；(3)log(1)x.思路点拨解答本题可利用对数的基本性质及对数与指数之间的关系求解解析(1)log2(log4x)0，log4x201，x414.(2)log3(lg x)1，lg x313，x1031 000.(3)log(1)x，(1)x1，x1.延伸探究把“(1)”换成“log8(lg (log2x)0”，把“(2)”换成“lg(ln x)1”，分别求x的值解析：(1)log8(lg(log2x)0，lg(log2x)1，log2x10，x210.(2)lg(ln x)1，ln x10，xe10.方法技巧1.对数的性质：(1)在指数式中N0，故零和负数没有
9、对数(2)设a0，a1，则有a01.loga10，即1的对数等于0.(3)设a0，a1，则有a1a，logaa1，即底数的对数为1.2在对数的运算中，常用对数的性质进行对数的化简与求值跟踪探究4.求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)0；(2)log2(lg x)1；(3)log1x.解析：(1)log3(log2x)0，log2x1，x212.(2)log2(lg x)1，lg x2，x102100.(3)log1x，(1)x1，x1.授课提示：对应学生用书第51页课后小结1对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即abNlogaNb(a0，a1，N0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaabb；(2)alogaNN.2在关系式axN中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算素养培优因忽视底数的取值范围而致误易错案例：已知log(x3)(x23x)1，求实数x的值易错分析：在对数的表达式xlogaN中，底数a需满足a0且a1，真数N0，在利用对数的性质求出a的值后，务必验证底数和真数是否满足对数式的意义，否则容易造成增根，考查概念定义、数学运算的学科素养自我纠正：由对数的性质得：x3x23x，即x22x30，解得x11，x23，因为x23时，x30，x1.
