1、专题13 数列（解答题）1【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)-78【解析】【分析】（1）依题意可得2Sn+n2=2nan+n，根据an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2，作差即可得到an-an-1=1，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得(1)解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn-1+n-12=2n-1an-1+n-1，-得，
2、2Sn+n2-2Sn-1-n-12=2nan+n-2n-1an-1-n-1，即2an+2n-1=2nan-2n-1an-1+1，即2n-1an-2n-1an-1=2n-1，所以an-an-1=1，n2且nN*，所以an是以1为公差的等差数列(2)解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9，即a1+62=a1+3a1+8，解得a1=-12，所以an=n-13，所以Sn=-12n+nn-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时Snmin=-782【2022年新高考1卷】记Sn为数列an
3、的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列(1)求an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an2【答案】(1)an=nn+12(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n-1=n+23，得到Sn=n+2an3，利用和与项的关系得到当n2时，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1an-13,进而得：anan-1=n+1n-1，利用累乘法求得an=nn+12，检验对于n=1也成立，得到an的通项公式an=nn+12；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+1an=21-1n+1，进而证得.(1)a1=1，S1=a1=1,S
4、1a1=1,又Snan是公差为13的等差数列，Snan=1+13n-1=n+23,Sn=n+2an3,当n2时，Sn-1=n+1an-13，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1an-13,整理得：n-1an=n+1an-1,即anan-1=n+1n-1,an=a1a2a1a3a2an-1an-2anan-1=13243nn-2n+1n-1=nn+12，显然对于n=1也成立，an的通项公式an=nn+12；(2)1an=2nn+1=21n-1n+1, 1a1+1a2+1an =21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+11)，则，整理可得：，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：
5、.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.15【2019年新课标1卷文科】记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解
6、答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.16【2019年新课标2卷理科】已知数列an和bn满足a1=1，b1=0， ，.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.【答案】（1）见解析；（2），【解析】【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
7、(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果【详解】(1)由题意可知，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，(2)由(1)可知，所以，【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题17【2019年新课标2卷文科】已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)本题首先可以根据数
8、列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，所以令数列的公比为，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等比数列，(2)因为，所以，所以数列是首项为、公差为的等差数列，【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题18【2018年新课标1卷
9、文科】已知数列满足，设（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式【答案】（1），；（2）是首项为，公比为的等比数列理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，；（2）利用条件可以得到，从而 可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.【详解】（1）由条件可得将代入得，而，所以，将代入得，所以，从而，；（2）是首项为，公比为的等比数列由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列；（3）由（2）可得，所以【点睛】该题考查的是
10、有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.19【2018年新课标2卷理科】记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】【详解】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为
11、正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.20【2018年新课标3卷理科】等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【答案】（1）或 .（2）.【解析】【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m详解：（1）设的公比为，由题设得由已知得，解得（舍去），或故或（2）若，则由得，此方程没有正整数解若，则由得，解得综上，点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司
