1、椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第五节椭 圆等于常数焦点2a|F1F2|2a|F1F2|2a|F1F2|1椭圆的定义椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 标准方程图形x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)2椭圆的标准方程和几何性质椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 标准方程性 质范围x，y_x_，y_对称性对称轴：_；对称中心：_顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a
2、)B1(b，0)，B2(b，0)离心率e，且e_a，b，c的关系c2_x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)a，ab，bb，ba，a坐标轴原点ca(0,1)a2b2椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1椭圆 C：x225y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则F1AB 的周长为()A12 B16C20 D24小题体验解析：F1AB 的周长为|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a在椭圆x225y2161 中，a225，a5，F1AB 的周长为 4a
3、20，故选 C答案：C 椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2设 e 是椭圆x24 y2k1 的离心率，且 e23，则实数 k 的取值是_解析：当 k4 时，有 e14k23，解得 k365；当0k4 时，有 e1k423，解得 k209 故实数 k的值为209 或365 答案：209 或365椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为_解析：设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)因为椭圆的一个焦点为 F
4、(1,0)，离心率 e12，所以c1，ca12，a2b2c2，解得a2c2，b23，故椭圆的标准方程为x24 y231答案：x24 y231椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1椭圆的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件，当 2a|F1F2|其轨迹为线段 F1F2，当 2a|F1F2|不存在轨迹2求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2y2b21(ab0)3注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|a，|y|b，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导
5、致求最值错误的原因椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1已知椭圆 C：x24 y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C上的点 A 满足 AF2F1F2，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则F1PF2A的最大值为()A 32B3 32 C94D154小题纠偏解析：由椭圆方程知 c 431，所以 F1(1,0)，F2(1,0)因为椭圆 C 上点 A 满足 AF2F1F2，则可设 A(1，y0)，代入椭圆方程可得 y2094，所以 y032设 P(x1，y1)，则F1P(x11，y1)，F2A(0，y0)，所以F1PF2Ay1y0因为点 P
6、 是椭圆 C 上的动点，所以 3y1 3，故F1PF2A的最大值为3 32 答案：B 椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2若方程 x25k y2k31 表示椭圆，则 k 的取值范围是_解析：由已知得5k0，k30，5kk3.解得 3k0，B0，AB)椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 椭圆的定义及其应用典例引领1设 P 是椭圆x225y291 上一点，M，N 分别是两圆：(x4)2y21 和(x4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C
7、8,12 D10,12解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10，易知|PM|PN|(|PM|MF1|)(|PN|NF2|)2，则其最小值为|PF1|PF2|28，最大值为|PF1|PF2|212答案：C 椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2F1，F2 是椭圆x29 y271 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2 的面积为()A7B74 C72D7 52解析：由题意得 a3，b 7，c 2，|F1F2|2 2，|AF1|AF2|6|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF
8、1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8|AF1|72AF1F2 的面积 S12722 2 22 72答案：C 椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值
9、；利用定义|PF1|PF2|2a转化或变形，借助三角形性质求最值椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用1已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B的周长为 4 3，则 C 的方程为()Ax23 y221 Bx23 y21Cx212y281 Dx212y241解析：由题意及椭圆的定义知 4a4 3，则 a 3，又ca c3 33，c1，b22，C 的方程为x23 y221，选 A答案：A 椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂
10、考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P为椭圆 C 上的一点，且PF1PF2若PF1F2 的面积为9，则 b_解析：由题意知|PF1|PF2|2a，PF1PF2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，所以 2|PF1|PF2|4a24c24b2所以|PF1|PF2|2b2，所以 SPF1F212|PF1|PF2|122b2b29所以 b3答案：3椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 椭圆的几何性质
11、椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有：(1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围 锁定考向椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 题点全练角度一：求离心率的值或范围1(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解析：将 yb2代入椭圆的标准方程，得x2a2b24b21，所以 x 32
12、a，故 B 32 a，b2，C32 a，b2 又因为 F(c,0)，所以 BFc 32 a，b2，CFc 32 a，b2 因为BFC90，所以 BF CF0，所以c 32 ac 32 a b220，即 c234a214b20，将 b2a2c2 代入并化简，得 a232c2，所以 e2c2a223，所以 e 63(负值舍去)答案：63椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围2(2017泉州质检)已知椭圆 x2m2y210m1 的长轴在 x轴上，焦距为 4，则 m 等于()A8 B7C6 D5解析：椭圆 x2m2
13、y210m1 的长轴在 x 轴上，m20，10m0，m210m，解得 6m10焦距为 4，c2m210m4，解得 m8答案：A 椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 通法在握1应用椭圆几何性质的 2 个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系2求椭圆离心率的方法(1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b2
14、a2c2 消去 b，转化为含有 e 的方程(或不等式)求解椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 演练冲关1已知椭圆x29 y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A21 B21C1925或 21 D1925或21解析：当 94k0，即5kb0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A 22B 33 C12D13解析：由题意，可设 Pc，b2a 因为在 RtPF1F2 中，|PF1|b2a，|F1F2|2c，F1PF260，所以2acb2 3又因为 b2a2c2，所以 3
15、c22ac3a20，即 3e22e 30，解得 e 33 或 e 3，又因为 e(0,1)，所以 e 33 答案：B 椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3已知 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 离心率的取值范围是()A23，1B13，22 C13，1D0，13解析：如图所示，线段 PF1 的中垂线经过 F2，|PF2|F1F2|2c，即椭圆上存在一点 P，使得|PF2|2cac2caceca13，1 答案：C 椭 圆 结
16、束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点四 直线与椭圆的位置关系典例引领(2017贵州省适应性考试)已知椭圆 G：x2a2y2b21(ab0)在 y轴上的一个顶点为 M，两个焦点分别是 F1，F2，F1MF2120，MF1F2 的面积为 3(1)求椭圆 G 的方程；(2)过椭圆 G 长轴上的点 P(t,0)的直线 l 与圆 O：x2y21 相切于点 Q(Q 与 P 不重合)，交椭圆 G 于 A，B 两点若|AQ|BP|，求实数 t 的值解：(1)由椭圆性质，知|MF2|a，于是 casin 60 32 a，bacos 6012a所以MF1F2 的面积 S
17、12(2c)b12(3a)12a 3，解得 a2，b1所以椭圆 G 的方程为x24 y21椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)显然，直线 l 与 y 轴不平行，可设其方程为 yk(xt)由于直线 l 与圆 O 相切，则圆心 O 到 l 的距离 d|kt|k211，即 k2t2k21，联立x24y24，ykxt，化简得(14k2)x28tk2x4(t2k21)0设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8tk214k2设 Q(x0，y0)，有y0kx0t，y0 x01k，解得 x0 tk21k2由已知可得，线段 AB，PQ 中点
18、重合，即有 x1x2tx0因此 8tk214k2t tk21k2，化简得 k212，将其代入式，可得 t 3椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法1直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2x1x224x1x21 1k2 y1y224y1y2(k 为直线斜率)椭 圆 结 束 课 前
19、 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦的中点点差法(结果要检验)椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2016郑州市第二次质量检测)已知曲线 C 的方程是 mx2ny21(m0，n0)，且曲线过 A24，22，B66，33 两点，O 为坐标原点(1)求曲线 C 的方程；(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线 C 上两点，向量 p(mx1，ny1)，q(mx2，ny2)，且 pq0，若直线 MN 过点0，32，求直线 MN 的斜率解：(1)由题可得：18m12n1，16m13n1，解得 m4，n1曲线 C 的方程为 y24x21椭 圆 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)设直线 MN 的方程为 ykx 32，代入椭圆方程 y24x21，得(k24)x2 3kx140，x1x2 3kk24，x1x214k24，pq(2x1，y1)(2x2，y2)4x1x2y1y20，1k2414k2k2432 k 3kk24340，即 k220，k 2故直线 MN 的斜率为 2
