1、圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第三节圆的方程定义平面内与_的距离等于_的点的集合(轨迹)标准方程 _圆心：_，半径：_一般方程 _，(D2E24F0)圆心：_，半径：_(xa)2(yb)2r2(r0)定点x2y2DxEyF0定长(a，b)rD2，E212 D2E24F1圆的定义及方程圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r22点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系：(1
2、)若 M(x0，y0)在圆外，则_.(2)若 M(x0，y0)在圆上，则.(3)若 M(x0，y0)在圆内，则.圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1(2016全国甲卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43 B34C 3D2小题体验解析：因为圆 x2y22x8y130 的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 axy10 的距离 d|a41|a21 1，解得 a43答案：A 圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(教材习题改编)圆 C 的直径
3、的两个端点分别是 A(1,2)，B(1,4)，则圆 C 的标准方程为_解析：设圆心 C 的坐标为(a，b)，则 a1120，b242 3，故圆心 C(0,3)半径 r12|AB|12 112422 2圆 C 的标准方程为 x2(y3)22答案：x2(y3)22圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是_解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，所以(1a)2(1a)24即 a21，故1a1答案：(1,1)圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考
4、 点 突 破 课 后 三 维 演 练 对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E24F0 这一成立条件圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2016浙江高考)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_小题纠偏解析：由二元二次方程表示圆的条件可得 a2a2，解得 a2 或1当 a2 时，方程为 4x24y24x8y100，即 x2y2x2y520，配方得x122(y1)2540，不表示圆；当 a1 时，方程为 x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径
5、是 5答案：(2，4)5圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 圆的方程题组练透1(2017石家庄质检)若圆C的半径为 1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆 C 的标准方程为()Ax2y21 B(x3)2y21C(x1)2y21 Dx2(y3)21解析：因为点 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得 C(0,0)，所以所求圆的标准方程为 x2y21答案：A 圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2圆心在 y 轴上且经过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则
6、该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210 x0 Dx2y210 x0解析：设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，所以圆的方程为 x2(yb)2b2因为点(3,1)在圆上，所以 9(1b)2b2，解得 b5所以圆的方程为 x2y210y0答案：B 圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3(2015全国卷)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于M，N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6D10解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF200，D7EF50
7、0.解得D2，E4，F20.圆的方程为 x2y22x4y200令 x0，得 y22 6或 y22 6，M(0，22 6)，N(0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)，|MN|4 6，故选 C答案：C 圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 4(2016天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆C 的方程为_解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d2a54 55，解得 a2，所以
8、圆 C 的半径 r|CM|453，所以圆 C 的方程为(x2)2y29答案：(x2)2y29圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法1求圆的方程的 2 种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实
9、 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2确定圆心位置的 3 种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线提醒 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题 锁定考向圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维
10、 演 练 题点全练角度一：斜率型最值问题1(2016抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求yx的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx当直线 ykx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3所以yx的最大值为 3，最小值为 3圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度二：截距型最值问题2已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求 yx 的最大值和最小值解：yx
11、可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度三：距离型最值问题3已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求 x2y2的最大值和最小值解：如图所示，x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2020022，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的
12、最小值是(2 3)274 3圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 通法在握与圆有关的最值问题的 3 种常见转化法(1)形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 演练冲关1设点P是函数y 4x12图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_解析：函数y4x1
13、2的图象表示圆(x1)2y24的下半圆令点Q的坐标为(x，y)，则x2a，ya3，得y x2 3，即x2y60，作出图象如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d|1206|1222 5 2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是 52答案：52圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知m0，n0，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是_解析：因为m0，n0，直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以
14、|m1n12|m12n121，即|mn|m12n12两边平方并整理得mnmn1由基本不等式mnmn22可得mn1mn22，即(mn)24(mn)40，解得mn22 2当且仅当mn时等号成立答案：22 2，)圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 与圆有关的轨迹问题典例引领已知A(2,0)为圆x2y24上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y)因为 P 点在圆 x
15、2y24 上，所以(2x2)2(2y)24故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|，设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法与圆有关的轨迹问题的4种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件
16、列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等圆的方程 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，点 O 是坐标原点，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求动点 P 的轨迹解：四边形 MONP 为平行四边形，OPOM ON设点 P(x，y)，点 N(x0，y0)，则 ON OPOM(x，y)(3,4)(x3，y4)(x0，y0)，x0 x3，y0y4又点 N 在圆 x2y24 上运动，x20y204，即(x3)2(y4)24又当 OM 与 ON 共线时，O，M，N，P 构不成平行四边形，故动点 P 的轨迹是以(3,4)为圆心，2 为半径的圆且除去两点95，125 和215，285
