1、第七节 指数与指数函数基础梳理1.幂的运算(1)根式若xn=a(nN*,n1),则x=,0.nna nNa nNa (2)根式的性质()n=_(nN*,n1)=_.(3)分数指数幂正分数指数幂:=_(a0,m,nN*,且n1)负分数指数幂:=_(a0,m,nN*,且n1)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义(4)幂的运算性质aman=_,aman=_,(am)n=_(m,nQ,a0)n annamnamnaa,|,a nan为奇数为偶数nma1nmaamnam+nam-n2.指数函数的图象与性质y=axa10a0时,_;当x0时,_;当x10y10y1增减(0,1)基础达标1.(必修
2、1P48习题4改编)化简_.2111333324()3a ba b 2.(必修1P52练习3改编)函数的定义域为_,值域为_1()2xf x 3.f(x)=(a-1)x是R上的单调递增函数,则a的取值范围为_-6a 211110333324()663a ba ba ba 解析:原式=解析:由题设可知x 0,y0且y 1.x|x0y|y0且y 1解析:a-11a2.(2,+)5.若函数f(x)=1+2x+4xa 在(-,1上有f(x)0恒成立,则a的取值范围为_.4.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)f(n),则m,n的大小关系为_512 解析:0a=1,f(x)在R上递减,
3、mnm0恒成立,即,于是恒成立,其中x1,max11(),42xxa 34a 经典例题题型一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式(1);(2);(3)2343ababab111abab4133332233381 242aa bbaababa分析:根据根式与分数指数幂的关系去根号,把负指数幂化为正指数幂,再利用分数指数幂的运算性质化简、计算解:(1)(2)(3)711112323877882424331()()abaabaa ba bbabbabb1111111abababababababab4133332233311111333332112111333333311133381 242(8)
4、21422aa bbaababaaabbaaaba baaaba a aa变式1-1 化简下列各式12112133265(1)ababa b121121333225(2)(3)(4)6 a baba b12112133211111 1 11 1 533223 2 62 3 61565661(1)ababa bababaa ba b 解析:12111132133336322213222355(2)(3)(4)(2)625515444a baba ba ba babababab 题型二 指数函数图象的应用【例2】已知函数.(1)作出图象;(2)指出该函数的单调递增区间;(3)求值域212xy 分析
5、:本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和最值解:(1)由函数解析式可得其图象分成两部分:一部分是的图象,由下列变换可得到:;另一部分y=2x+2(x-2)的图象,由下列变换可得到:如图为函数的图象2221,21222,2xxxxyx 21(2)2xyx 21122xxyy222xxyy(2)由图象观察知函数在(-,-2上是增函数(3)由图象观察知,x=-2时,函数有最大值,最大值为1,没有最小值故其值域为(0,1212xy 变式2-1 已知实数a,b满足等式,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关
6、系式有_个1123ab2 解析:函数与的图象如图由,得ab0或0b0,a1)的定义域为R,所以y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;值域则要应用其单调性来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则解:(1)定义域为R.因为-|x+1|0,所以y=-|x+1|0=1,所以值域为1,+)2323(2)因为2x+11恒成立,所以定义域为R.又因为所以0y0且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求a的取值范围,使f(x)0在定义域上恒成立1112xa分析:(1)先判断函数的定义域是否关于原点对称,再考虑f(-x)与f(x)之间的关系;(2)题出现了,所以应分a1与0a1时,对x0,由指数函数的
7、性质知ax1,ax-10,.又x0,x30,即当x0时,f(x)0.又由(1)知,f(x)为偶函数,故f(-x)=f(x),当x0,有f(x)=f(-x)0.综上,当a1时,f(x)0在定义域上恒成立当0a0时,0ax1,ax+10,ax-10,此时f(x)0,不满足题意;又f(x)为偶函数,当x0,f(x)=f(-x)0时的情况当x0时,f(x)0,即,即.ax-10,ax1,axa0.又x0,a1.因此a1时,f(x)0在定义域上恒成立311012xxa11012xa1021xxaa 变式4-1(2011海安中学期中考试)已知函数满足f(c2)=(1)求常数c的值;(2)解不等式f(x).
8、98210,()21,1cxxcf xxcxc 218 解析:(1)由题意知0c1,于是0c2c,所以=f(c2)=cc2+1=c3+1,即c3=,故c=981812(2)由(1)得f(x)=1111,022124,1.2xxxx 121128102xx 122418112xx 由题意得或解不等式组得21154228xx或综上,不等式f(x)+1的解集为 .282 5,48链接高考(2010重庆)函数f(x)=的图象关于_对称知识准备:1.会进行函数奇偶性的判断;2.知道奇偶函数的对称性412xx12x解析:f(x)=2x+=2x+2-x,f(-x)=2-x+2x=f(x),y=f(x)为偶函数,即图象关于y轴对称y轴