1、全章素养整合构网络提素养链高考圆锥曲线 椭圆 定义：|PF1|PF2|2a|F1F2|2c标准方程焦点在x轴上：x2a2y2b21ab0焦点在y轴上：y2a2x2b21ab0性质顶点：a，0，0，b或0，a，b，0对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b焦点：c，0或0，c焦距：|F1F2|2c，c a2b2离心率：eca0e1圆锥曲线 双曲线 定义：|PF1|PF2|2a0，b0焦点在y轴上：y2a2x2b21a0，b0性质焦点在x轴上：顶点a，0，焦点c，0渐近线方程ybax或x2a2y2b20焦点在y轴上：顶点0，a，焦点0，c渐近线方程yabx或y2a2x2b20离心率：ecae1圆
2、锥曲线 抛物线定义：|PF|d标准方程焦点在x轴上：y22pxp0焦点在y轴上：x22pyp0性质焦点：p2，0 或0，p2准线：xp2或yp2离心率：e1直线与圆锥曲线位置关系相交相切相离弦长公式：1k2|x1x2|类型一 圆锥曲线定义的应用题型特点 椭圆、双曲线、抛物线的定义常与性质结合考查曲线的方程、动点轨迹、性质等，一般以选择题的形式考查，也常在解答题中出现 方法归纳(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常利用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，
3、常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义解决例 1(1)如图，F1，F2 是双曲线 C1：x2y231 与椭圆 C2 的公共焦点，点 A 是 C1，C2 在第一象限的公共点若|F1F2|AF1|，则 C2 的离心率是()A.13 B.23C.15D.25(2)已知双曲线 C 的离心率为 2，左、右焦点分别为 F1、F2，点 A 在 C 上若|F1A|2|F2A|，则 cosAF2F1()A.13B.14C.23D.24解析(1)由双曲线方程知，a11，c2，则|F1F2|AF1|4.由双曲线的定义，得|AF1|AF2|4|AF2|2，所以|AF2|2.又由椭圆的定
4、义，得|AF1|AF2|422a2，所以 a23，所以 C2 的离心率为 ca223，故选 B.(2)由 eca2，得 c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a，又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a.又|F1F2|2c4a，所以 cosAF2F1|AF2|2|F1F2|2|AF1|22|AF2|F1F2|4a216a216a222a4a14.故选 B.答案(1)B(2)B跟踪训练 1.已知双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，焦距为2c，直线 y 3(xc)与双曲线的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则双曲线的离心率为
5、()A.2B.3C2 D.31解析：直线 y 3(xc)过左焦点 F1(c,0)由于其斜率为 3，tanMF1F2 3，MF1F260.又MF1F22MF2F1，MF2MF1 且|MF1|12|F1F2|c，|MF2|3c.由双曲线定义得，|MF2|MF1|3cc2a，双曲线的离心率 eca231 31.答案：D类型二 圆锥曲线的标准方程题型特点 高考常在选择题或填空题中结合圆锥曲线的几何性质求圆锥曲线的方程，在解答题中根据给出的条件建立圆锥曲线的方程，圆锥曲线的标准方程是高考中解析几何的必考内容方法归纳(1)在已知圆锥曲线的类型时，求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或代数条件，列出方程
6、或方程组，求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法)(2)根据已知的条件直接列出关于动点坐标的方程，化简整理得出圆锥曲线方程(直接法)(3)当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时，建立两个动点坐标之间的关系，代入已知曲线方程得出圆锥曲线方程(代入法)例 2 已知双曲线与椭圆 x24y264 共焦点，它的一条渐近线方程为 x 3y0，求双曲线的方程解析 法一：椭圆 x24y264，即x264y2161，其焦点是(4 3，0)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，其渐近线方程是 ybax.又双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，ba 33.又由 a2b2c248，解得 a236，b21
7、2.所求双曲线方程为x236y2121.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，则另一条渐近线方程为 x 3y0.结合已知可设双曲线方程为 x23y2(0)，即x2 y231，由椭圆方程x264y2161 知 c2a2b2641648.双曲线与椭圆共焦点，则 348，36.故所求双曲线方程为x236y2121.跟踪训练 2.(1)已知椭圆与双曲线y24x2121 的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此椭圆的方程为()A.x29 y2251 B.x225y291C.x25 y21 Dx2y251(2)已知过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线
8、于点 C，若|BC|2|BF|(其中 B 位于 A，C 之间)，且|AF|4，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy26xDy22x解析：(1)因为双曲线的焦点为(0，4)，(0,4)，离心率为 e1422，所以椭圆的离心率 e285245.设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)，则ca45，c4，a2b2c2，解得a5，b3，所以椭圆的方程为y225x29 1.故选 A.(2)如图，过 A，B 分别作 AD，BE 垂直于抛物线的准线，垂足为 D，E，G 为准线与 x 轴的交点，由抛物线的定义，得|BF|BE|，|AF|AD|4.因为|BC|2|BF|，所以|BC|2|BE|，则
9、在 RtBCE 中，DCA30，所以|AC|2|AD|8，所以|CF|844，所以|GF|CF|2 2，即 p|GF|2，所以抛物线的方程为 y24x.答案：(1)A(2)B类型三 圆锥曲线的几何性质及应用题型特点 圆锥曲线的性质主要包括离心率、焦点坐标，对于双曲线来说，渐近线也是常考知识点从近几年高考对这部分的考查来看，主要考查椭圆、双曲线的离心率，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也在解答题中出现方法归纳 求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题，关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果例 3(1)如图，椭
10、圆 C1，C2 与双曲线 C3，C4 的离心率分别是 e1，e2 与 e3，e4，则 e1，e2，e3，e4 的大小关系是()Ae2e1e3e4Be2e1e4e3Ce1e2e3e4De1e2e40，b0)的右焦点为 F，直线 l：xa2c(c 为双曲线的半焦距的长)与两条渐近线交于 P，Q 两点，如果PQF 是直角三角形，那么双曲线的离心率 e_.解析(1)椭圆离心率为 e，则 e21b2a2，0e2e11.双曲线的离心率为 e，则 e21b2a2.1e3e4.因此 0e2e11e3b0)和圆 x2y2b2c 2 有四个交点，其中 c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率 e 的取值范围为()A.55
11、 e35 B0e 25C.25 e 35D.35 eb2c 2，b2b2c，b14a2c2，a2c24c2 55 ca35，即 55 eb0)上任一点，F1，F2 为椭圆的焦点，|PF1|PF2|4，离心率为 22.(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：ykxm(m0)与椭圆的两交点为 A，B，线段AB 的中点 C 在直线 y12x 上，O 为坐标原点，当OAB 的面积等于 2时，求直线 l 的方程解析(1)由椭圆定义得 2a4，a2，所以 cae 2，故 b 2，所以椭圆方程为x24 y221.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykxm 代入方程x24 y221，得(12k2)x
12、24kmx2m240(*)所以 xCx1x222km12k2，yCkxCmm12k2，所以m12k2122km12k2，解得 k1，则(*)变为 3x24mx2m240，则|AB|2|x1x2|4 6m23，OAB 底边 AB 的高 h|m|2，所以OAB 的面积 S 2 6m2m23.令 2 6m2m23 2，解得 m 3，此时直线 l 的方程为 yx 3或 yx 3.跟踪训练 4.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点 A(2,1)，离心率为 22，过点 B(3,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M，N.(1)求椭圆的方程；(2)若|MN|3 22，求直线 MN 的方程解析：(1)
13、由题意有 4a2 1b21，eca 22，a2b2c2，解得 a 6，b 3，c 3，所以椭圆方程为x26 y231.(2)由直线 MN 过点 B 且与椭圆有两交点，可设直线 MN 方程为 yk(x3)，代入椭圆方程整理得(2k21)x212k2x18k260，2424k20，得 k21.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2 12k22k21，x1x218k262k21，|MN|x1x22y1y22 k21x1x22 k21x1x224x1x23 22，解得 k 22，满足 k24|AB|，故点 P 的轨迹是椭圆，且 2a6,2c4，即 a3，c2，所以 b 5，因此其方程为x
14、29 y251(y0)(2)设圆 P 的半径为 r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1，由双曲线的定义知，点 P 的轨迹为双曲线的右支，且 2a1,2c4，即 a12，c2，所以 b 152，因此其方程为 4x2 415y21x12.(3)依题意，知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线 x2 的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其方程为 y28x.1(2018高考全国卷)已知双曲线 C：x23 y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN|()A.32 B3C2 3D4解析：
15、由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y 13x.设两渐近线夹角为 2，则有 tan 13 33，所以 30.所以MON260.又OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MNON，如图所示在 RtONF 中，|OF|2，则|ON|3.则在 RtOMN 中，|MN|ON|tan 2 3tan 603.故选 B.答案：B2(2017高考全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_.解析：由 y28x，得 p4，焦点为 F(2,0)，准线 l：x2.如图，M 为 FN 的中点过 M 作 MEl
16、于点 E，过点 N 作 NHl 于点 H，则易知线段 EM 为梯形 AFNH 的中位线HN2，AF4，|ME|12(HNAF)3.又由抛物线的定义，知|ME|MF|，且|MN|MF|，|NF|NM|MF|2|ME|236.答案：63(2018高考全国卷)设椭圆 C：x22 y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB.解析：(1)由已知得 F(1,0)，l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为1，22 或1，22.又 M(2,0)，所以
17、直线 AM 的方程为 y 22 x 2或 y 22 x 2.(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 2，x2 2，直线 MA，MB 的斜率之和为kMAkMB y1x12 y2x22.由 y1kx1k，y2kx2k 得kMAkMB2kx1x23kx1x24kx12x22.将 yk(x1)代入x22 y21，得(2k21)x24k2x2k220，所以 x1x2 4k22k21，x1x22k222k21.则 2kx1x23k(x1x2)4k4k34k12k38k34k2k210.从而 kMAkMB0，故 MA，MB 的倾斜角互补所以OMAOMB.综上，OMAOMB.
