1、课时跟踪练(六十三)A组基础巩固1设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1.
2、将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.2(2019郑州模拟)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x1相切(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B、C两点，求ABC面积的最大值解：(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，所以动点E的轨迹是以F(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y24x.(2)设直线l的方程为yxm，其中3m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差证明：(1
3、)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，解得则椭圆C的标
4、准方程为y21.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立直线方程与椭圆方程得消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以xAxB，xAxB.假设在x轴上存在定点E(x0，0)，使得为定值则(xAx0，yA)(xBx0，yB)xAxBx0(xAxB)xyAyBxAxBx0(xAxB)xk2(xA1)(xB1)(1k2)xAxB(x0k2)(xAxB)xk2.因为为定值，所以的值与k无关，所以2x4x012(x2)，解得x0，此时为定值，定点为，当直线的斜率不存在时，也满足为定值，且定点为.综上，存在点E，使得为定值，且定
5、值为.5(2019石家庄质检)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围解：(1)设T(x，y)，则直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2.于是由k1k2，得，整理得1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立直线PQ的方程与椭圆方程得消去y得(4k23)x216kx320，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1
6、k2)x1x22k(x1x2)420.所以20.当直线PQ斜率不存在时，易得P，Q两点的坐标为(0，2)，(0，2)，所以的值为20.综上所述，的取值范围为.6(2019陕西质检)已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：(1)因为|PF1|PF2|4，所以2a4，a2.所以椭圆E的方程为1.将P代入可得b23，所以椭圆E的方程为1.(2)存在当AC的斜率为零或斜率不存在时，；当AC的斜率k存在且k0时，设AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AC|x1x2|.同理，因为直线BD的斜率为，所以|BD|.所以.综上，2，所以.所以存在常数，使得，成等差数列
