1、基础达标1(2014四川成都调研)抛物线yx2到直线2xy4距离最近的点的坐标是()A(，) B(1，1)C(，) D(2，4)解析：选B设P(x，y)为抛物线yx2上任意一点，则P到直线的距离d，x1时，d取最小值，此时P(1，1)2已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45，则弦AB的中点坐标为()A(1，0) B(2，2)C(3，2) D(2，4)解析：选C依题意得，抛物线C的方程是y24x，直线l的方程是yx1.由消去y得(x1)24x，即x26x10，因此线段AB的中点的横坐标是3，纵坐标是y312，所以线段A
2、B的中点坐标是(3，2)3若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8解析：选C由题意得F(1，0)，设点P(x0，y0)，则y3(2x02)，x0(x01)yxx03(x02)22，当x02时，取得最大值6.4(2014辽宁大连质检)已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A B(，)C D，解析：选C由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C5若一条双曲线的焦距是8，经过其一个焦点的
3、直线被双曲线截得的最短弦长是4，则此双曲线的离心率为_解析：此题有两种情况：(1)当直线被双曲线的一支所截时，截得的最短弦长是通径(即过焦点且和对称轴垂直的弦)，通径长等于，故4，即b22a，而由已知得c4，c2a2b216，16a22a，解得a1，此时e；(2)当直线被双曲线的两支所截时，截得的最短弦长是两顶点连线的线段长，即2a4，此时a2，e2.答案：或26(2014浙江省名校联考)已知P为双曲线C：1上的一点，点M满足|1，且0，则当|取得最小值时，点P到双曲线C的渐近线的距离为_解析：由0，得OMPM，根据勾股定理，求|的最小值可以转化为求|的最小值，当|取得最小值时，点P的位置为双
4、曲线的顶点(3，0)，而双曲线的渐近线方程为4x3y0，所以所求的距离d.答案：7(2014河南省三市第二次调研)已知圆G：x2y22xy0经过椭圆1(ab0)的右焦点F及上顶点B过椭圆外一点M(m，0)(ma)作倾斜角为的直线l交椭圆于C、D两点(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围解：(1)圆G：x2y22xy0经过点F、B，F(2，0)，B(0，)，c2，b，a2b2c26，椭圆的方程为1.(2)由题意知直线l的方程为y(xm)，m，由，消去y得2x22mx(m26)0.由4m28(m26)0，解得2m，m2.设C(x1，y1)，D(x2，y2
5、)，则x1x2m，x1x2，y1y2x1x2(x1x2).(x12，y1)，(x22，y2)，(x12)(x22)y1y2x1x2(x1x2)4.点F在圆E的内部，0，即0，解得0m3.又m2，mb0)的长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点若，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|ND|2.解：(1)由已知可得，故，所以椭圆的方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y1.由，得M.因为M是椭圆C上一点，所以1，即21，得21，故y1y20.又线段AB的中点N的坐标为，所以2y1y21，从而线段AB的中点N在椭圆2y21上
6、又椭圆2y21的两焦点恰为C，D，所以|NC|ND|2.能力提升1已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2y21，直线l：mxny1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围解：(1)直线xky30经过定点F(3，0)，即点F(3，0)是椭圆C的一个焦点设椭圆C的方程为1(ab0)，因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a38，即a5.所以b2a23216.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：因为点P(m，n)在椭圆C上，所以1，即n2
7、16(0m5)所以原点到直线l的距离d0)，由点到直线的距离公式，得，解得c1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x24y.(2)由x24y，得yx2，其导数为yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y1，x4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以和为方程x0x2y02y0的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2(2y0x)yy0.由一元二次方程根与系数的关系得y1y2x2y0，y1y2y.所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y020，即x0y02，所以yx2y012y2y052，所以当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.
