1、31 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算内 容 标 准学 科 素 养1.理解空间向量的概念2.掌握空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 空间向量的概念预习教材P8485，思考并完成以下问题如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为 500 kg，在它的顶点处分别受力 F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 60，且|F1|F2|F3|200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？图中的三个力 F1，F2，F3
2、 是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量因此，解决这个问题需要空间向量的知识事实上，不同在一个平面内的向量随处可见例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA，OB，OC 就是不同在一个平面内的向量(如图)知识梳理(1)空间向量的定义在空间，把具有和的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的或(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的表示向量的模如图，向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量 a 也可记为AB，其模记为|a|或|AB|.大小方向长度模长度(3)特殊向量名称定义及表示零向量规定长度为 0 的向量叫做，记为 0单位向量的向量叫做单位向量相反
3、向量与向量 a 长度而方向的向量，称为 a 的相反向量，记为a相等向量方向且模的向量称为相等向量，在空间，且的有向线段表示同一向量或相等向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长知识点二 空间向量的加法、减法运算预习教材P8586，思考并完成以下问题平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量 已知空间向量 a，b，我们可以把它们移到同一个平面 内，以任意点 O 为起点，作向量OA a，OB b.那么 ab 和 ab 如图所示知识梳理(1)空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空
4、间向量的加法和减法运算(如图)：OB OA AB ab；CA OA OC ab.(2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律：交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)自我检测1下列命题正确的是()A若向量 a 与 b 的方向相反，则称向量 a 与 b 为相反向量B零向量没有方向C若 a 是单位向量，则|a|1D若向量 m，n，p 满足 mn，np，则不一定有 mp答案：C2已知空间四边形 ABCD 中，AB a，BC b，AD c，则CD 等于()Aabc BcabCcabDcab答案：B探究一 空间向量及相关概念的理解例 1 给出下列命题：在同一条直线上的单位向量都相
5、等；只有零向量的模等于0；在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AD1 与BC1 是相等向量；在空间四边形 ABCD 中，AB 与CD 是相反向量；在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，与AA1 的模一定相等的向量一共有4 个其中正确命题的序号为_解析 错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；正确，零向量的模等于 0，模等于 0 的向量只有零向量；正确，AD1 与BC1 的模相等，方向相同；错误，空间四边形 ABCD 中，AB 与CD 的模不一定相等，方向也不一定相反；错误，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，与AA1 的模一定相等的向量是A1A，BB1，B
6、1B，CC1，C1C，一共有 5 个答案 方法技巧 解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点：(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为 1；(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的跟踪探究 1.下列说法正确的是()A若|a|b|，则 a，b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|C两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定
7、相同D若|a|b|，|b|c|，则 ac解析：对于 A，由|a|b|可得 a 与 b 的长度相同，但方向不确定；对于 B，a 与 b 是相反向量，则它们的模相等，故 B 正确；对于 C，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故 C 错；对于 D，向量不能比较大小，故 D 错答案：B探究二 空间向量的加法与减法运算教材 P86练习 3在图中，用AB，AD，AA 表示AC，BD 及DB.解析：AC AA AC AA AB AD AB AD AA；BD BD DD BA BC DD AB AD AA；DB DB BB DA DC AA AD AB AA.例 2 如图，在长方体 ABCD
8、-A1B1C1D1 中，下列各式运算结果为BD1 的是()A1D1 A1A AB；BC BB1 D1C1；AD AB DD1；B1D1 A1A DD1.A BCD解析 A1D1 A1A AB AD1 AB BD1；BC BB1 D1C1 BC1 C1D1 BD1；AD AB DD1 BD DD1 BD BB1 B1D BD1；B1D1 A1A DD1 BD AA1 DD1 BD1 AA1 BD1，故选 A.答案 A方法技巧 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算(2)巧
9、用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果2化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)跟踪探究 2.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为向量AC1 的是_(填序号)(AB BC)CC1；(AA1 A1D1)D1C1
10、；(AB BB1)B1C1；(AA1 A1B1)B1C1.解析：(AB BC)CC1 AC CC1 AC1；(AA1 A1D1)D1C1 AD1 D1C1 AC1；(AB BB1)B1C1 AB1 B1C1 AC1；(AA1 A1B1)B1C1 AB1 B1C1 AC1.所以所给四个式子的运算结果都是AC1.答案：课后小结空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形
11、，则它们的和为 0.素养培优1对空间向量的有关概念理解不清致误下列说法中，错误的个数为()(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同(2)若向量AB，CD 满足|AB|CD|，AB 与CD 同向，则AB CD.(3)若两个非零向量AB，CD 满足AB CD 0，则AB，CD 互为相反向量(4)AB CD 的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合A1 B2C3 D4易错分析 向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同故(1)(4)错误反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“”连接，故(2)错误自我纠正(1)错误
12、，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小(3)正确，由AB CD 0，得AB CD，所以AB，CD 互为相反向量(4)错误，由AB CD，|AB|CD|，且AB，CD 同向，但 A 与 C，B 与 D 不一定重合故一共有 3 个错误命题，正确答案为 C.答案：C2对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，化简DA DB B1C B1B A1B1 A1B.易错分析 DA DB B1C B1B B1B A1B1 A1B AB CB B1B DC DA B1BDB D1D D1B.自我纠正 DA DB B1C B1B A1B1 A1B BA BC BB1 BD BB1 BD DD1BD1.04 课时 跟踪训练
