1、基础达标1下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是()A1,B1,2,3,4,C1,D1,解析:选C根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故同时满足要求的是选项C2数列,的第10项是()A BC D解析:选C所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1,故a10.3(2014湖南十二校联考)已知数列an的前n项和Sn满足:SnSmSnm(m,nN*)且a16,那么a10()A10 B60C6 D54解析:选C由SnSmSnm,得S1S9S10.又由于a10S1
2、0S9S1a16,故a106.4(2014陕西西安模拟)已知Sn是数列an的前n项和,SnSn1an1(nN*),则此数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析:选CSnSn1an1,当n2时,Sn1Snan.两式相减得anan1an1an,an0(n2)当n1时,a1(a1a2)a2,a10,an0(nN*)5已知数列an满足a133,an1an2n,则的最小值为()A BC10 D21解析:选B由已知条件可知:当n2时,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)33242(n1)n2n33,又n1时,a133适合,ann2n33.又n1,令f(n)n1,f(n)在1,5上
3、为减函数,f(n)在6,)上为增函数,又f(5),f(6),则f(5)f(6),故f(n)的最小值为.6已知数列,则5是数列的第_项解析:易知数列的一个通项公式为an.令5,即,4n175,故n19.答案:197(2014天津六校第三次联考)数列an中,已知a11,a22,an1anan2(nN*),则a7_解析:由已知an1anan2,a11,a22,能够计算出a31,a41,a52,a61,a71.答案:18(2014江苏连云港调研)在数列an中,已知a12,a23,当n2时,an1是anan1的个位数,则 a2 014_. 解析:数列an的前几项依次是2,3,6,8,8,4,2,8,6,
4、8,8,去掉前两项,构成一个周期为6的数列,2 014233562,a2 0148.答案:89已知anan1(n2),a11.(1)写出这个数列的前5项;(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明解:(1)a11,a2a1,a3a2,a4a3,a5a4.(2)猜想an.证明如下:由已知得a2a1,a3a2,anan1,所以ana1.从而an112.10已知数列an的前n项和Sn2n12.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnanan1,求数列bn的通项公式解:(1)当n1时,a1S12222;当n2时,anSnSn12n12(2n2)2n12n2n;因为a1也适合此等式,所以an2n(n
5、N*)(2)因为bnanan1,且an2n,an12n1,所以bn2n2n132n.能力提升1(2014安徽池州一模)数列an的通项公式an2nsinncos,前n项和为Sn,则S2 015()A1 008 B1 008C2 015 D2 015解析:选Ban2nsinncosnsin.由函数ysinx的周期是4,且a11,a2200,a33(1)3,a4400,归纳可知数列an的每相邻四项之和是一个常数2,所以S2 015(2)1031 008.2对于数列an,“an1|an|(n1,2,)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C必要条件D既不充分也不必要条件解析:选B
6、当an1|an|(n1,2,)时,|an|an,an1an,an为递增数列当an为递增数列时,若该数列为2,0,1,则a2|a1|不成立,即知:an1|an|(n1,2,)不一定成立综上知,“an1|an|(n1,2,)”是“an为递增数列”的充分不必要条件3(2014辽宁大连测试)数列an满足:a13a25a3(2n1)an(n1)3n13(nN*),则数列an的通项公式an_解析:a13a25a3(2n3)an1(2n1)an(n1)3n13,把n换成n1得,a13a25a3(2n3)an1(n2)3n3,两式相减得an3n.答案:3n4下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式
7、是_解析:从题图中可观察星星的构成规律,n1时,有1个,n2时,有3个;n3时,有6个;n4时,有10个;an1234n.答案:an5已知数列an的前n项和Snn21,数列bn满足bn,且前n项和为Tn,设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式;(2)判断数列cn的增减性解:(1)a12,anSnSn12n1(n2),bn.(2)cnbn1bn2b2n1,cn1cn0,即cn1cn,cn是递减数列6(选做题)(2014江西重点中学联考)已知数列an中,a12,anan12n0(n2,nN*)(1)写出a2,a3的值(只写结果),并求出数列an的通项公式;(2)设bn,若对任意的正整数n,当m1,1时,不等式t22mtbn(nN*)恒成立,求实数t的取值范围解:(1)a26,a312.当n2时,anan12n,an1an22(n1),a3a223,a2a122,由累加法可知ana1(n2)(n1),ann(n1),经验证,当n1时,a1212也成立,则数列an的通项公式为ann(n1),nN*.(2),bn.令cn2n,则cn为递增数列,(bn)maxb1.当m1,1时,不等式t22mtbn(nN*)恒成立,即t22mt对m1,1恒成立,解得t(,2)(2,)