1、3.正弦定理和余弦定理 知识归纳 1.正弦定理:,其中R是三角形 外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:（1）abc=sin Asin Bsin C;（2）a=,b=,c=;（3）等形式,以 解决不同的三角形问题.RCcBbAa2sinsinsin2Rsin C RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin2Rsin A 2Rsin B 2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cos A ,cos B=,cos C=.b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C bcacb2222acbca2222abcba22223三角形中的常见
2、结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC;sin cos ；cos sin ；4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5.解三角形的类型 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角 A为钝角
3、 或直角 图形 关系式 解的 个数 一解 两解 一解 一解 AbasinbaAbsinba ba 题型一 正弦定理的应用 (1)在ABC中,a=,b=,B=45.求角A、C和边c；（2）在ABC中，a=8，B=60，C=75.求边b 和c；（3）在ABC中，a，b，c分别是A,B,C 的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求A及 的值.【例1】32cBbsin练习1 在ABC中，若b=,c=1,B=45,求a及C的值.解 由正弦定理得 因为cb,所以CB,故C一定是锐角，所以C=30,所以A=105，.21sin,sin145sin2CC 所以.226105sin2,1
4、05sin30sin1aa所以所以2题型二 余弦定理的应用 在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边，且 （1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.由 利用余弦定理 转化为边的关系求解.解 （1）由余弦定理知：【例2】.2coscoscabCB13思维启迪,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC.32,2122cos:222:2coscos222222222222BBacacacbcaBacbcacabcbaabacbcacabCB为三角形的内角整理得得将上式代入.433sin21.3),211(216cos22)(,cos
5、232,4,13)2(222222BacSacacbBacaccabBaccabBcabABC得代入将练习2 已知ABC中，三个内角A，B，C的 对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且 2S=（a+b）2-c2，求tan C的值.解 依题意得absin C=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C.所以,absin C=2ab(1+cos C),即sin C=2+2cos C,.342tan12tan2tan.22tan:,2cos42cos2sin222CCCCCCC从而化简得所以题型三 三角形形状的判定 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B
6、、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【例3】练习3 在ABC中，已知2sin Acos B=sin C，那么ABC一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析 方法一 因为在ABC中，A+B+C=，即C=-（A+B），所以sin C=sin(A+B).由2sin Acos B=sin C,得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.又因为-A-B,所以A-B=0,即A=B.所以ABC是等腰三角形，故
7、选B.方法二 利用正弦定理和余弦定理 2sin Acos B=sin C可化为 即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0,即a2=b2,故a=b.所以ABC是等腰三角形.答案 B ,22222cacbcaa题型四 三角形的综合应用 在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C.(1)求角B的大小；(2)若b=,a+c=4,求ABC的面积.【例4】7备用1.在ABC中，角A、B、C 所对边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 求角A 和tan B的值.,321 bc作业:BbaCAsin)()sin(sin222222.在三角形ABC中，a,b,c分别为三内角A，B，C的对边，已知且三角形ABC的外接圆半径为（1）求角C；（2）求三角形ABC面积S的最大值；3.在三角形ABC中，a,b,c分别为三内角A，B，C的对边，若a,b,c成等比数列，（1）求B的取值范围；（2）求)cos(sin2sin1CABBy得取值范围；
