1、1.3.1 柱体中的线面关系与计算一、选择题1已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()Aml B.mnCnl D.mn解析：由平面，交于直线l，得到l，而n，所以nl.选C.答案：C2设，分别为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件，选A.答案：A3某个几何体的三视图如图所示，其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为()A9224 B.8224C9214 D.8214解析：依题意，题中的几何
2、体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是5,4,4，圆柱的底面半径是2，高是5，因此该几何体的表面积等于3(45)2(44)22(22)59214，故选C.答案：C4如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是() ABCD解析：对于B，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于C，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于D，易知ABNQ，则直线AB平面MNQ.故排除B，C，D，选A.答案：A5在下列四个正方体中，能得出异面直线ABCD的是()ABCD解析：对于A，作出过AB的平面AB
3、E，如图，可得直线CD与平面ABE垂直，根据线面垂直的性质知，ABCD成立，故A正确；对于B，作出以AB为边的等边三角形ABE，如图，将CD平移至AE，可得CD与AB所成的角等于60，故B不成立；对于C，D，将CD平移至经过点B的侧棱处，可得AB，CD所成的角都是锐角，故C和D均不成立答案：A6(2019广东广州调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N是线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为()A. B. C. D.解析：如图所示，过点A作AEBM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NTAE交A1A于点T，此时NTBM，所
4、以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知AQNE.故选D.答案：D7(2019广西南宁模拟)在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：如图，过点E作EMAB，过点M作MNAD，取MN的中点G，连接NE，D1G，所以平面EMN平面ABCD，易知EGBF，所以异面直线BF与D1E所成的角为D1EG，不妨设正方体的棱长为2，则GE，D1G，D1E3，在D1EG中，cosD1EG.故选D.答案：D8已知长方体ABCDA1B1C1D1中，棱A1A5，AB12，那么直线B1C1和平面A1BC
5、D1的距离是()A5 B. C. D.8解析：B1C1BC，且B1C1平面A1BCD1，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求过点B1作B1EA1B于E点(图略)BC平面A1ABB1，且B1E平面A1ABB1，BCB1E.又BCA1BB，B1E平面A1BCD1，即线段B1E的长即为所求在RtA1B1B中，B1E，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是.故选C.答案：C9在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DFAC1，则下述结论：AC1BC；AFFC1；平面DAC1平面ACC1A1，正确的个数为()
6、A0 B.1 C.2 D.3解析：BCCC1，若AC1BC，则BC面AA1C1C，显然不成立(设棱长为2)，错；连接AD，DC1，在ADC1中，ADDC1，而DFAC1，F是AC1的中点，对；由知，在ADC1中DF，连接CF，易知CF，而在RtCBD中，CD，DF2CF2CD2，DFCF，又DFAC1，CFAC1F，DF平面AA1C1C，又DF平面DAC1，平面DAC1平面ACC1A1，对故选C.答案：C10直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的正切值为()A. B. C. D.解析：如图所示，作正方体AE
7、BCA1E1B1C1，取AE中点M，连接MD1，MB.由MD1AF1可得MD1B就是BD1与AF1所成的角设ACa，则MD1MBa，BD1a.cosMD1B，tanMD1B.故选A.答案：A11已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A. B. C. D.解析：因为相互平行的直线与平面所成的角相等，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都相等要求截面面积最大，则截面
8、的位置为夹在平面AB1D1与平面C1BD中间，过棱的中点的正六边形，且边长为.所以其面积为S62.答案：A12(2019湖南师大联考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线C1B上的动点，则CMMD1的最小值为()A. B.2C. D.2解析：将CBC1沿BC，CC1剪开，并沿BC1折起，使平面CBC1和平面BC1D1A共面(如图)连D1C交BC1于点M.则CMMD1最短(即线段CD1)在D1C1C中，D1C1C135，由余弦定理得CD1212212cos 1352.故CMMD1的最小值为.答案：A二、填空题13在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，AA11
9、，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_解析：如图，连接AD1，B1D1，因为AD1BC1，所以异面直线AB1与BC1所成的角即为B1AD1(或其补角)根据勾股定理易知AD1，AB1，B1D1，所以在B1AD1中，cosB1AD1.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.答案：14在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件时，有平面D1BQ平面PAO.解析：如图，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QBPA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，
10、所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.答案：Q为CC1的中点15已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r.由题意知4r212，所以r23，又2a2h2(2r)212，所以a26，所以正四棱柱的体积Va2hh，则V6h2，由V0，得0h2，由V2，所以当h2时，正四棱柱的体积最大，Vmax8.答案：216如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四
11、个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论有(填序号)解析：AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60.答案：三、解答题1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.解析：证明：(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)
12、在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解析：(1)证明：设E为BC的中点，连接DE，AE，A1E
13、.由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.A1EBCE，故AE平面A1BC.在平行四边形BCC1B1中，由D，E分别为B1C1，BC的中点得，DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以四边形AA1DE为平行四边形于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，A1EAEE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC
14、，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sinA1BF.3如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AMAN1.(1)证明：M，N，C，D1四点共面；(2)平面MNCD1将此正方体分为上、下两部分，求下部分与上部分的体积之比解析：(1)证明：连接A1B.在四边形A1BCD1中，A1D1BC且A1D1BC，四边形BCD1A1为平行四边形，A1BD1C.又AMAN1，MNA1B，MND1C.由MN，D1C确定平面，即M，N，C，D1四点共面(2)记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2.因为平面ABB1A1平面DCC1D1，所以平面AMN平面DD1C.延长CN与DA相交于点P.因为ANDC，所以，即，解得PA.延长D1M与DA相交于点Q，同理可得QA.所以点P与点Q重合所以D1M，DA，CN三线相交于一点所以几何体AMNDD1C是一个三棱台所以V1VAMNDD1C3，从而V2VABCDA1B1C1D1VAMNDD1C27，所以.所以平面MNCD1分此正方体的下部分与上部分体积的比为.
