1、拉分题冲刺练(第2223题)拉分题组合练(一)七、(本题满分12分)22.已知点O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1x20)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,直接写出2n2-5n的最小值.解:(1)易知点C(0,c).O,C两点间的距离为3,即|c|=3,则c=3,点C(0,3)或(0,-3).(3分)(2)点C在y轴负半轴上,则c=-3,C(0,-3).把点C的坐标代入y2=-3x+t,得-3=t,即t=-3.y2=-
2、3x-3.把点A(x1,0)代入y2=-3x-3,解得x1=-1,A(-1,0).x1x20.|x1|+|x2|=4,1+x2=4,x2=3,B(3,0).把点A,B的坐标分别代入y1=ax2+bx-3,得a-b-3=0,9a+3b-3=0,解得a=1,b=-2,y1=x2-2x-3=(x-1)2-4,当x1时,y1随x的增大而增大.(8分)-258.(12分)解法提示:由题意可知,抛物线y1平移后对应的函数表达式为y3=(x-1+n)2-4,直线y2平移后对应的函数表达式为y4=-3x-3-n,易得当x1-n时,y3随x的增大而增大,要使直线y4与P有公共点,则当x=1-n时,y3y4,即(
3、1-n-1+n)2-4-3(1-n)-3-n,解得n1.2n2-5n=2(n-54)2-258,当n=54时,2n2-5n有最小值,最小值为-258.八、(本题满分14分)23.(1)将ABC绕点C顺时针旋转(00,x60.故y与x之间的函数关系式为y=-49x2+403x+800(0x60).(8分)由得,y与x之间的函数关系式为y=-49x2+403x+800=-49(x-15)2+900.-490,当x=-452110=4时,ymin=11042-454+3=75,即绳子最低点离地面的距离为75m.(4分)(2)对于y=110x2-45x+3,当y=3时,x=0或8,A(0,3),C(8
4、,3).由题意可设抛物线F1的解析式为y=a(x-2)2+1.8,将A(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3,故抛物线F1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8,当x=3时,y=0.31+1.8=2.1,故MN的长为2.1m.(8分)(3)由题可设抛物线F2的解析式为y=14(x-h)2+k,MN=AB=CD=3m,h=d+8-d2=4+d2.将C(8,3),h=4+d2代入抛物线F2的解析式,得14(8-4-d2)2+k=3,k=3-14(4-d2)2=-116(d-8)2+3.3d6,2316k114.(12分)八、(本题满分14分)23.在RtABC中,AB=AC,AP是B
5、AC内的射线,交BC于点O,分别过点B,C作BEAP,CDAP,垂足分别为点E,D.(1)如图(1),求证:ABECAD.(2)如图(2),若点F是BC的中点,连接DF,EF.求证:DEF是等腰直角三角形;如图(3),若点D是OA的中点,点G是OC上的一点,CGD=BEF,BC=22,求DG的长.图(1) 图(2)图(3)(1)证明:BAC=90,BEAP,BAE+ABE=BAE+CAD=90,ABE=CAD.在ABE和 CAD中,AB=CA,AEB=CDA,ABE=CAD,ABECAD.(4分)(2)证明:延长EF交CD于点Q,如图.BEAP,CDAP,BECD,EBF=QCF.又BF=CF
6、,BFE=CFQ,BEFCQF,EF=FQ,DF是RtEDQ的斜边EQ上的中线,EF=DF.连接AF,易知AFB=AEB=90,点A,B,E,F均在以AB为直径的圆上,AEF=ABF=45,FDE=AEF=45,DEF是等腰直角三角形.(9分)BEF=AEB+DEF=135,CGD=BEF=135,CGD+ACB=135+45=180,DGAC.又点D是OA的中点,DG是OAC的中位线.BC=22,ABC是等腰直角三角形,AC=2,DG=12AC=1.(14分)拉分题组合练(五)七、(本题满分12分)22.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A,且经过点(2,c),直线l
7、1:y=x-3经过点A.(1)请求出b,c的值,并写出抛物线的解析式.(2)点P为抛物线上一动点,过点P作直线l2l1,l2与y轴交于点Q,求点Q纵坐标的最小值.解:(1)易知直线l1:y=x-3与x轴的交点坐标为(3,0),即A(3,0).将(3,0),(2,c)分别代入y=x2+bx+c,得9+3b+c=0,4+2b+c=c,解得b=-2,c=-3,(4分)故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(5分)(2)方法一:设点P的坐标为(m,m2-2m-3).根据l1l2可设直线l2的解析式为y=x+k,则Q(0,k).直线l2:y=x+k经过点P,m+k=m2-2m-3,k=m2-2m-3-m
8、=m2-3m-3=(m-32)2-214,当m=32时,k取最小值,为-214,点Q纵坐标的最小值为-214.(12分)方法二:由题意可设直线l2的解析式为y=x+k,则Q(0,k).令x+k=x2-2x-3,整理,得x2-3x-3-k=0,易知当点Q的纵坐标最小时,直线l2与抛物线只有一个交点P,即此时方程x2-3x-3-k=0有两个相等的实数根,(-3)2-4(-3-k)=0,解得k=-214,点Q纵坐标的最小值为-214.(12分)八、(本题满分14分)23.如图,P是正方形ABCD内一点,且PAD=PDB=PBA.(1)求APB的度数;(2)求证:PD2=PAPB;(3)若PA=1,求
9、BD的长.(1)四边形ABCD是正方形,BAD=90,PAD+PAB=90.PAD=PBA,PBA+PAB=90,APB=90.(5分)(2)证明:在正方形ABCD中,ABD=ADB.PBA=PDB,ADP=DBP.又PAD=PDB,PADPDB,PAPD=PDPB,PD2=PAPB.(9分)(3)由(2)知,PADPDB,PAPD=PDPB=ADBD=12.又PA=1,PD=2,PB=2.APB=90,AB=AP2+BP2=5,BD=10.(14分)拉分题组合练(六)七、(本题满分12分)22.已知抛物线y1=ax2-4ax+3a(a0)的对称轴为直线l,顶点为A.(1)请直接写出抛物线顶点
10、的坐标(用含a的式子表示);(2)若抛物线与x轴交于点B,C(点B在点C左侧),且ABC为直角三角形,求a的值;(3)若直线y2=a+12x与抛物线交于点P,Q(点P在点Q左侧),与直线l交于点D,且点D恰好是线段OQ的中点,点M是直线y2=a+12x下方抛物线上一点,当PQM的面积最大时,求点M的横坐标.解:(1)(2,-a).(2分)解法提示:由抛物线的顶点坐标公式可知,抛物线y1=ax2-4ax+3a的顶点的横坐标为-4a2a=2,纵坐标为4a3a-(-4a)24a=-a,故抛物线y1=ax2-4ax+3a的顶点坐标为(2,-a).(2)易知点B,C关于直线l对称,点A在直线l上.又AB
11、C为直角三角形,BAC=90.对于y1=ax2-4ax+3a,当y1=0时,0=ax2-4ax+3a,解得x1=1,x2=3,B(1,0),C(3,0),BC=2.由(1)可知点A的纵坐标为-a.易知当ABC为直角三角形时,有2|a|=2.又a0,a=1.(7分)(3)易知抛物线的对称轴为直线x=2,点D的横坐标为2.又点D在直线y2=a+12x上,D(2,a+1).又点D是线段OQ的中点,Q(4,2a+2).把Q(4,2a+2)代入y1=ax2-4ax+3a,得2a+2=16a-16a+3a,解得a=2,y1=2x2-8x+6,y2=32x.令2x2-8x+6=32x,解得x1=34,x2=
12、4.设点M(m,2m2-8m+6)(34m4).过点M作x轴的垂线,交PQ于点N,则点N的坐标为(m,32m),MN=32m-(2m2-8m+6)=-2m2+192m-6.SPQM=12MN(xQ-xP),且xQ-xP为定值,当MN最大时,PQM的面积最大.对于y=-2m2+192m-6,当m=-1922(-2)=198时,y的值最大,341984,符合要求,当m=198时,MN的值最大,此时PQM的面积也最大,故PQM的面积最大时,点M的横坐标为198.(12分)八、(本题满分14分)23.如图,在RtABC中,ACB=90,点Q是AB边的中点,点P是AB边上一点,分别过点A,B作直线CP的
13、垂线,垂足分别为点D,E,连接QD,QE.(1)如图(1),当点P,Q重合时,QD与QE的数量关系是QD=QE;(2)如图(2),求证:QD=QE;(3)如图(2),若AC=4,BC=8,APBP=2,求AD的长. 图(1)图(2)(1)QD=QE(2分)(2)证明:如图,延长EQ交AD于点F.ADCP,BECP,ADBE,QAD=QBE.又AQF=BQE,QA=QB,AQFBQE,QF=QE.(6分)在RtFDE中,FDE=90,QF=QE,QD=12EF=QE.(8分)(3)ADP=BEP,APD=BPE,APDBPE,ADBE=APBP=2,即AD=2BE.ADC=ACB=90,DAC+
14、ACD=90,ECB+ACD=90,DAC=ECB.又ADC=CEB=90,ADCCEB,CDBE=ACBC=48=12,即BE=2CD,AD=2BE=4CD.设CD=x,则AD=4x.在RtACD中,根据勾股定理,得AD2+CD2=AC2,即(4x)2+x2=42,解得x=41717(负值已舍),AD=4x=161717.(14分)拉分题组合练(七)七、(本题满分12分)22.某商场销售A,B两种品牌的运动服装,下表是近两周这两种运动服装的销售情况:销售时段A品牌销售数量/套B品牌销售数量/套销售利润/元第一周10204000第二周18123600(1)若该商场计划一次性购进两种品牌的运动服
15、装共100套,并设商场购进A品牌运动服装x套,这100套运动服装的销售总利润为y元,求y与x的函数关系式.(2)在(1)的条件下,若B品牌运动服装的进货量不超过A品牌运动服装的2倍,则该商场分别购进A,B两种品牌的运动服装多少套,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对A品牌运动服装出厂价下调m(0m100)元,且限定商场最多购进A品牌运动服装70套.若商场保持两种品牌运动服装的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这100套运动服装销售总利润最大的进货方案.解:(1)设每套A品牌运动服装的销售利润为a元,每套B品牌运动服装的销售利润为b元.依题意,得10a+20b=400
16、0,18a+12b=3600,解得a=100,b=150,故每套A品牌运动服装的销售利润为100元,每套B品牌运动服装的销售利润为150元,则y与x的函数关系式为y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000.(4分)(2)根据题意可得,100-x2x,解得x3313.y=-50x+15000,-500,y随x的增大而减小.x3313,且x为正整数,当x=34时,y取得最大值,此时100-x=66,故当商场购进A品牌运动服装34套、B品牌运动服装66套时,才能使销售总利润最大.(8分)(3)设这100套运动服装的销售总利润为w元,根据题意,得w=(100+m)x+150(100
17、-x),即w=(m-50)x+15000(3313x70,且x为整数).当0m50时,m-500,则w随x的增大而减小,当x=34时,w取得最大值.故商场购进A品牌运动服装34套、B品牌运动服装66套,才能获得最大利润.当m=50时,m-50=0,则w=15000.故商场购进A品牌运动服装数量为满足3313x70的整数时,总利润不变,为15000元.当50m0,则w随x的增大而增大,当x=70时,w取得最大值.故商场购进A品牌运动服装70套、B品牌运动服装30套,才能获得最大利润.(12分)八、(本题满分14分)23.在菱形ABCD中,BCD=,点P是对角线BD上一动点(不与点B重合),连接A
18、P,CP,将线段CP绕点C顺时针旋转得到CQ,连接DQ.(1)如图(1),求证:BCPDCQ;AP=CQ.(2)如图(2),连接QP并延长交直线AB于点M,PQ与CD交于点N.求证:PM=QN.(3)当AB=2,=120,且点B,C,Q三点共线时,PQ=3.图(1) 图(2)(1)证明:四边形ABCD是菱形,BC=DC.由旋转的性质,得CP=CQ,PCQ=.BCD=PCQ=,BCP+PCD=PCD+DCQ,BCP=DCQ,BCPDCQ.(3分)四边形ABCD是菱形,ABP=CBP,BA=BC.又BP=BP,ABPCBP,AP=CP.又CP=CQ,AP=CQ.(6分)(2)证明:由(1)知BCP
19、DCQ,ABPCBP,BAP=BCP=DCQ.如图,在CD上取点R,连接QR,使QR=QN,则QRN=QNR.四边形ABCD是菱形,ABCD,AMP=QNR=QRN.在AMP和CRQ中,AMP=CRQ,MAP=RCQ,AP=CQ,AMPCRQ,PM=QR,PM=QN.(11分)(3)3(14分)解法提示:当B,C,Q三点共线时,DCQ=180-BCD=60.又CDQ=CBP=12ABC=30,CQD=90.由(1)知BCPDCQ,BPC=CQD=90.由菱形的性质可知,点P为线段BD的中点,PQ=12BD=DP=BP.在RtBPC中,BC=2,CBP=30,BP=BCcos30=3,PQ=3.
20、拉分题组合练(八)七、(本题满分12分)22.小明利用寒假30天勤工俭学,售卖某种草莓,已知这种草莓的成本为10元/千克,日销售量m(千克)与时间x(天)的对应关系为m=40-x.销售单价n(元)与时间x(天)的对应关系为n=20+12x(1x15),10+300x(15x30).(1)当售卖第几天时,该种草莓的销售单价为25元?(2)在这30天中,小明第几天获得的利润最大?最大利润是多少?(3)在实际销售的前15天中,为鼓励销售商批发草莓,草莓生产基地决定:销售商每批发1千克,就奖励a元.假设批发的草莓均能在当天全部售完.小明通过销售记录发现,第7天和第8天获得奖励后的利润相同,试求a的值.
21、解:(1)当1x15时,令20+12x=25,解得x=10;当15x30时,令10+300x=25,解得x=20,经检验,x=20是方程10+300x=25的解,且符合题意.答:当售卖第10天和第20天时,该种草莓的销售单价为25元.(4分)(2)在这30天中,设小明第x天获得的利润为w元.当1x15时,w=(20+12x-10)(40-x)=-12(x-10)2+450,故当x=10时,w取得最大值450.当15x30时,w=(10+300x-10)(40-x)=12000x-300,故当x=15时,w取得最大值500.因为450500,所以小明第15天获得的利润最大,最大利润为500元.(
22、8分)(3)在实际销售的前15天中,设小明第x天获得的利润是w元.根据题意得,w=-12(x-10)2+450+(40-x)a=-12x2+(10-a)x+400+40a.因为第7天和第8天获得奖励后的利润相同,抛物线的对称轴为直线x=-10-a-122=10-a,所以10-a=152,解得a=52,故a的值为52.(12分)八、(本题满分14分)23.如图(1),四边形ABCD是矩形,AE平分BAD,交CD于点E,以点E为直角顶点在四边形ABCD内作等腰直角三角形EFG,且点F,G分别在AD,AB上,FG与AE交于点H.(1)求证:FHGH=EHAH;(2)如图(2),若点F是AD的中点,A
23、D=2,求AH的长;(3)试判断AE,AF,AG之间的数量关系,并说明理由.图(1)图(2)备用图(1)证明:四边形ABCD是矩形,BAD=90.AE平分BAD,BAE=DAE=45.EFG是以点E为直角顶点的等腰直角三角形,EFH=45,EFH=GAH.又EHF=GHA,EFHGAH,FHAH=EHGH,FHGH=EHAH.(4分)(2)如图(1),过点H作HQAB于点Q,则AQ=HQ,AHQ是等腰直角三角形.图(1)点F是AD的中点,AD=2,AF=DF=1.D=90,DAE=45,DEA=45=DAE,DE=AD=2,EF=DF2+DE2=12+22=5,FG=2EF=10,AG=FG2-AF2=3.(6分)易知HQAF,HGQFGA,HQAF=QGAG,即HQ1=3-HQ3,HQ=34,AH=324.(8分)(3)AF+AG=2AE.(9分)理由:过点E作EMEA交AB的延长线于点M,如图(2).图(2)MAE=45,AEM=90,AME=45=MAE,EA=EM.FEG=90=AEM,FEG-AEG=AEM-AEG,AEF=MEG.(11分)在AEF和MEG中,EA=EM,AEF=MEG,EF=EG,AEFMEG,(13分)AF=MG,AF+AG=MG+AG=AM=2AE.(14分)
