1、第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念课后篇巩固提升基础巩固1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是32,则ab为()A.3B.92C.2D.12答案B2.(多选)下列命题中是真命题的是()A.|ab|=|a|b|B.ab=0a=0或b=0C.|a|=|a|D.a=0=0或a=0答案CD3.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于()A.150B.120C.60D.30解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,所以OAB是等边三角形.所以=120.答案B4.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大
2、的是()A.P1P2P1P3B.P1P2P1P4C.P1P2P1P5D.P1P2P1P6解析设正六边形的边长为a,则P1P2P1P3=32a2,P1P2P1P4=a2,P1P2P1P5=0,P1P2P1P6=-12a2.答案A5.在ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且ABAC=8,则ABC的形状为.答案等边三角形6.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为3,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为.答案37.若四边形ABCD满足AB+CD=0,且ABBC=0,试判断四边形ABCD的形状.解因为AB+CD=0,所以AB=DC,即A
3、BDC,且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为ABBC=0,所以ABBC,即ABBC.所以四边形ABCD为矩形.8.已知在ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,若|c|=m,|b|=n,=.(1)试用m,n,表示SABC;(2)若cb0,且SABC=154,|c|=3,|b|=5,则为多少?解(1)SABC=12ABACsinCAB=12mnsin .(2)因为SABC=154=12|b|c|sin ,所以154=1235sin .所以sin =12.因为cb0,所以为钝角.所以=150,即=150.能力提升1.下列命题中,正确命题的个数是()AB+BA=00AB=0AB-AC
4、=BC0AB=0A.1B.2C.3D.4解析由两相反向量的和为零向量知命题正确;由于两向量的数量积结果为一实数知命题错误,正确结果应为0;由向量的减法运算法则知AB-AC=CB,命题错误;由向量数乘的意义知0AB=0,命题错误,即正确命题的个数是1,故选A.答案A2.有4个式子:0a=0;0a=0;0-AB=BA;|ab|=|a|b|.其中正确式子的个数为()A.4B.3C.2D.1解析因为向量乘以实数仍然为向量,所以0a=0,式子正确,错误;由AB+BA=AA=0,所以0-AB=BA,式子正确;由|ab|=|a|b|cos |,得|ab|=|a|b|不一定成立,式子错误.故选C.答案C3.(
5、多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是()A.若ab=bc,则a=bB.若ab,则ab=(ab)2C.若ab,则a在b上的投影的数量为|a|D.若1a+2b=0(1,2R,且120),则ab解析对于选项A,若ab=bc,则(a-c)b=0,故A错误;对于选项B,若ab,所以ab=0,则ab=(ab)2,故B正确;对于选项C,若ab,则a在b上的投影的数量为|a|,故C错误;对于选项D,若1a+2b=0(1,2R,且120),推出a=-21b,由平行向量基本定理可知ab,故D正确.综上可知:选项BD正确,故选BD.答案BD4.以下四个命题中,正确的是()A.若OP=12OA+13OB,则
6、P,A,B三点共线B.若a,b,c为空间的一个基底,则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底C.|(ab)c|=|a|b|c|D.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC=0解析因为OP=12OA+13OB中12+131,所以P,A,B三点不一定共线,因为a,b,c为空间的一个基底,所以a,b,c不在同一个平面,因此a+b,b+c,c+a也不在同一个平面,从而a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底,因为|(ab)c|=|ab|c|=|a|b|c|cos|,所以|(ab)c|=|a|b|c|不恒成立,因为ABC为直角三角形时角A不一定为直角,即ABAC=0不一定成立,所以D错误,综上可知选
7、B.答案B5.已知|a|=5,|b|=3,且ab=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于()A.-4B.4C.-125D.125解析向量a在向量b上的投影的数量等于ab|b|=-123=-4.故选A.答案A6.在边长为4的菱形ABCD中BAD=120,则AD在AB方向上的投影的数量为()A.23B.-23C.-2D.2解析由题意知向量AD和AB的夹角为120,所以AD在AB方向上的投影的数量为|AD|cos 120=4-12=-2.故选C.答案C7.已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足AO=12(AB+AC),且|AB|=1,则BA在BC方向上的投影的数量为()A.12B.-12C.
8、32D.-32解析由AO=AB+AC2可知O为BC中点,所以ABC为直角三角形,BAC=90,由|AB|=1,|BC|=2,可得ABC=60,BA与BC的夹角为=60.因此BA在BC上的投影的数量为|BA|cos 60=112=12,故选A.答案A8.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e的夹角为23时,a在e上的投影的数量为()A.2B.-2C.23D.-23解析a在e上的投影的数量为|a|cos=|a|ae|a|e|=ae|e|=41cos23=-2,故选B.答案B9.已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影的数量为32,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150解析由题意知
9、|b|cos =cos =32,0,=30.故选A.答案A10.已知平面向量a,b的夹角为3,|a|=4,|b|=2,则a在b方向上的投影的数量为()A.2B.-2C.4D.-4解析由题意得ab=|a|b|cos3=4212=4.a在b方向上的投影的数量为|a|cos=4cos3=2.故选A.答案A11.在梯形ABCD中,ABCD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则ACAE=()A.3B.3C.23D.12解析由题意可知ABC为直角三角形,ACB=90,AC=23,根据向量数量积的几何意义可得ACAE=AC2=12,故选D.答案D12.在RtABC中,C=90,AC=2,BC
10、=1,则ABCB=()A.-2B.0C.1D.2解析由向量的投影的几何意义及图像可知:AB在CB方向上的投影的数量为|BC|=1,由向量数量积的几何意义得ABCB=|BC|2=1.故选C.答案C13.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则OAAB=()A.4B.-4C.8D.-8解析设AB的中点为M,连接OM,则OMAB,OAAB=2AMOA=2|AM|OA|cos(-OAB)=-22|AO|cosOAB=-4|AM|=-8.故选D.答案D14.(双空)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且ab=42,则a与b的夹角为.若向量c,d满足c为单位向量,cd=4,=3,则|d|=.解析
11、设向量a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=4224=22,又因为0,所以=4.因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得cd=|c|d|cos,得4=1|d|cos3,所以|d|=8.答案4815.在四边形ABCD中,AB=DC,且ACBD=0,则四边形ABCD是()A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形解析AB=DC,AB与DC平行且相等,四边形ABCD为平行四边形.又ACBD=0,ACBD,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,平行四边形ABCD为菱形.故选A.答案A16.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影的数量为-1.(1)求a与b的夹角;(2)求(a-2b)b;(3)当为何值时,向量a+b与向量a-3b互相垂直?解(1)由题意知|a|=2,|b|=1.又向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos =-1,cos =-12,=23.(2)易知ab=-1,则(a-2b)b=ab-2b2=-1-2=-3.(3)向量a+b与a-3b互相垂直,(a+b)(a-3b)=a2-3ab+ba-3b2=4+3-1-3=7-4=0,=47.
