1、专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用12022全国甲卷(理)，18在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP.(1)证明：BDPA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值22022全国乙卷(理)，18如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值32022安徽省安庆市高三二模如图，四边形ABCD是梯形，ABCD，ADAB，ABBC2CD，PBC是等腰三角形，PBPC，且平面PBC平面ABC
2、D.(1)求证：BCPA；(2)如果直线PD与平面ABCD所成角的大小为45，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值42022安徽省蚌埠市高三质检九章算术记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形(其中最多只有一个平行四边形)、两个不平行对面是三角形的五面体如图，羡除ABCDEF中，ABCD是正方形，且EAD，FBC均为正三角形，棱EF平行于平面ABCD，EF2AB.(1)求证：AECF；(2)求二面角EACF的大小52022安徽省皖北协作区联考如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，ABBC，BECD，BCD，AB2，BCCD1，.(1)线段AD上是
3、否存在一点P，使得AF面BMP？若存在，确定点P的位置，若不存在，请说明理由；(2)求直线DM与平面DEF所成角的正弦值专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用1解析：(1)证明：CDAB，ADCB1，DCAB，四边形ABCD是等腰梯形如图，过点C作CEAB于点E，过点D作DFAB于点F，则AFBE(ABCD)，CDEF.又AD1，DF.又BFEFBE，BD.又AD1，AB2，AD2BD2AB2，ADBD.PD平面ABCD，BD平面ABCD，PDBD.又ADPDD，BD平面PAD.PA平面PAD，BDPA.(2)如图，以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
4、标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，(0，0，)，(1，0，)，(0，).设平面PAB的法向量为n(x，y，z).由得令z1，得x，y1，则n(，1，1).设直线PD与平面PAB所成的角为，则sin|cosn，|.PD与平面PAB所成的角的正弦值为.2解析：(1)证明：ADCD，ADBBDC，BDBD，ABDCBD，ABCB.E为AC的中点，DEAC，BEAC.DEBEE，DE，BE平面BED，AC平面BED.AC平面ACD，平面BED平面ACD.(2)如图，连接EF.由(1)知AC平面BED.又EF平面BED，EFAC.SAFCACEF.当EFBD时，E
5、F的长最小，此时AFC的面积最小由(1)知ABCB2.又ACB60，ABC是边长为2的正三角形，BE.ADCD，DE1，DE2BE2BD2，DEBE.以点E为坐标原点，直线EA，EB，ED分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0，0)，D(0，0，1)，(1，0)，(1，0，1)，(0，1)，(0，0，1)，(1，0，0).设(01)，则(0，0，1)(0，1)(0，1).EFDB，(0，1)(0，1)410，(0，)，(0，)(1，0，0)(1，).设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，则x，z，n(，1，).设当
6、AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角为，则sin|cosn，|.故当AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角的正弦值为.3解析：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接CE.因为AB2CD，ABCD，ADAB，所以四边形AECD是矩形，所以CEAB.在RtBEC中，cosCBE，所以CBE60.连接AC，则ABC是等边三角形.取BC的中点O，连接AO，则AOBC.连接PO，因为PBPC，所以POBC，因为POAOO，所以BC平面PAO，所以BCPA.(2)因为平面PBC平面ABCD，POBC，平面PBC平面ABCDBC，PO平面PBC，所以PO平面ABCD.连接DO，则PDO就是直线
7、PD与平面ABCD所成的角，所以PDO45，所以POOD.在OCD中，OCCD，DCO120，所以OD2OC2CD22OCCD()3OC2，所以POODOC.如图，以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系，令ABBC2CD2a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a).由，可得D(a，a，0).所以(a，a，0)，(a，0，a).设平面PAD的一个法向量为m(x0，y0，z0)，由得可取x0z0，y01，则m(，1，).因为平面PBC的一个法向量为，所以cos，m，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.4解析：(1)延长A
8、B到M点，使BMAB，连接CM，FM，EF平面ABCD，平面AMF平面ABCDAM，EFAM，AM2ABEF，四边形AMFE是平行四边形，AEMF.在FCM中，令FC，则FM，CM2，FC2FM2CM2，CFM90，即MFCF.AECF.(2)分别取AD，BC，EF的中点G，H，Q，连接EG，GH，HF，AC，BD，设ACBDO，连接OQ，EAD为正三角形，G是AD中点，ADEG，ADAB，GHAB，AGGH，AD平面EFHG，平面EFHG平面ABCD，OQGH，平面EFHG平面ABCDGH，OQ平面ABCD，OQAC，OQBD.分别以，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，令O
9、A1，则OB1，OQ1，A(1，0，0)，C(1，0，0)，E(1，1，1)，F(1，1，1)，(2，0，0)，(0，1，1)，(0，1，1)，(2，1，1)，设平面EAC的法向量m(x，y，z)，则，令y1，则m(0，1，1)，设平面FAC的法向量m(x，y，z)，则，令y1，则n(0，1，1)，mn0011110，m，n90，即二面角EACF的平面角为90.5解析：(1)存在P为AD上靠近D点的三等分点，使得AF面BMP；理由：过点M作MPCD，交AD于P，因为，即有CMCA，故DPDA，即P为AD上靠近D点的三等分点，而BECD，AFBE，故AFMP，又MP面BMP，AF面BMP，所以AF面BMP.(2)取CD的中点为G，连接BG，BD，因为BCD，BCCD1，故BCD为正三角形，则BGCD，故以B为坐标原点，分别以BG，BE，BA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(，0)，E(0，2，0)，F(0，2，2)，A(0，0，2)，C(，0)，则(0，0，2)，(，0)，又(，2)，可求得M(，)，设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则，即，不妨取y1，则n(，1，0)，记直线DM与平面DEF所成角为，又(，), sin|cos，n|，即直线DM与平面DEF所成角的正弦值为.
