1、湖南省2016届高三六校联考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合（ ）A B C D2.命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（ ）A若不是偶数，则与都不是偶数B若是偶数，则与不都是偶数C若是偶数，则与都不是偶数D若不是偶数，则与不都是偶数3.若执行右边的程序框图，输出的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A B C D4.下列函数中在上为减函数的是（ ）A B C D5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方
2、法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（ ）A15 B7 C9 D106.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为：A B C D7.若的展开式中的常数项为，则的值为（ ）A6 B20 C8 D249.已知数列的通项公式，其前项和为，将数列的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D10.已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成记表示所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）A
3、 B C若，则与无关 D有5个不同的值11.设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）A B C D以上均不正确12.已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.已知复数，则=_14.在中，的面积为4，则的长为_15.已知圆与圆相交于两点，且满足，则_16.给出下列命题：（1）设与是定义在上的两个函数，若恒成立，且为奇函数，则也是奇函数；（2）若，都有成立，且函数在上递增，
4、则在上也递增；（3）已知，函数，若函数在上的最大值比最小值多，则实数的取值集合为；（4）存在不同的实数，使得关于的方程的根的个数为2个、4个、5个、8个则所有正确命题的序号为_三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立（1）求数列的通项公式；（2）设，当为何值时，数列的前项和最大？18.（本小题满分12分）如图，在多面体中，平面，且为等边三角形，与平面所成角的正弦值为（1）若是线段的中点，证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值19.（本小题满分12分）某
5、学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响年龄分组项培训成绩优秀人数项培训成绩优秀人数3018362412943（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段和内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为，求的概率分布和数学期望20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为，其焦点为，点为坐标原点，
6、过焦点作斜率为的直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点（1）求；（2）设直线与抛物线交于两点，且四边形的面积为，求直线的斜率21.（本小题满分12分）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）如图，是的直径，弦的延长线相交于点，垂直于的延长线于点（1）求证：；（2）若，求的长23.（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数
7、方程是（为参数）（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值24.（本小题满分10分）函数（1）求函数的定义域；（2）设，当实数时，证明：参考答案一 选择题题号123456789101112答案DDCCDAADDCAD9.D 【解析】由题意知 ，设等比数列的公比为，则，为递增数列，得又，故，若存在，使对任意，总有，则，得，故选D10.C 【解析】可能的取值有3种情况：，所以，若，若，则与无关，故选C11A 【解析】因为正实数，则，要使为三边的三角形存在，则，即恒成立，故，令，则，取故实数的取值范围是，故选A12D 【解析】设点则，从而，设，令，则
8、即，当且仅当即取等号，取等号的条件一致，此时，故选D二、填空题13144或 【解析】，得，或15 【解析】相交弦所在直线方程为，设其中一圆的圆心为，得16.（1）（2）（3）【解析】（1）为真，令即可；（2）为真，不妨设，则即即（3）为假，作图后如果定势思维很容易漏掉，加大可得正确答案（4）为真，方程与函数图象结合，关于的方程若一正一负，正大于1，此时有2根；若一零一1，此时有5根；若判别式=0，此时有4根；若两个均为正，则有8个根17. 【解析】（1）取，得，1分若，则，当时，所以；2分若，则当时，3分上述两个式子相减得：，所以数列是等比数列4分综上，若，则；若，则6分（2）当，且时，令，所
9、以，8分所以，为单调递减的等差数列（公差为）10分则，当时，故数列的前6项的和最大12分18【解析】（1）证明：取的中点为，连接，则可证平面，四边形为平行四边形，所以，所以平面；6分（2）解：取的中点，连结，则平面，即是与平面所成角，设，则有，得，取的中点为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：平面，又，取平面的一个法向量，又，设平面的一个法向量，由，由此得平面的一个法向量，面积，所以二面角的平面角的余弦值为12分19【解析】（1）由频率分布直方图知，2分（2） 4分（3）在年龄段内的教师人数为（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率
10、为；项培训结业考试成绩优秀的概率为，此人、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，6分在年龄段内的教师人数为（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人项培训结业考试成绩优秀的概率为；项培训结业考试成绩优秀的概率为，此人、两项培训结业考试成绩都优秀的概率为8分由题设知的可能取值为0，1，2，10分的概率分布为012的数字期望为12分20.【解析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，得，则，5分（2）由，知，直线在两点处的切线的斜率分别为，的方程为，的方程为，解得交点8分，知直线与相互垂直由弦长公式知，用代得，10分四边形的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，或，即或12分21.【解析
11、】（1）因为，由已知得，所以，2分设，则，在上恒成立，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是5分（2）因为，要证原式成立即证成立，现证明：对任意恒成立，当时，由（1）知成立；当时，且由（1）知，设，则，当时，当时，所以当时，取得最大值所以，即时，综上所述，对任意9分令，则恒成立，所以在上递增，恒成立，即，即当时，有；当时，由式，综上所述，时，成立，故原不等式成立12分22.【解析】（1）连结，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，；5分（2）连结，在直角和直角中，所以、，所以，即，设，则，所以，所以，解得，所以的长为110分23.【解析】（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：直线的参数方程是（为参数），消去参数可得5分（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得 ，解得或又满足实数或10分24【解析】（1）解：，当时，得；当时，得，故无解；当时，得5分（2）证明：，要证，只需证，成立10分
