1、圆锥曲线求解问题探索与解题技巧一、【椭圆标准方程问题】圆锥曲线中与方程本身的问题多涉及标准方程，求解的问题为标准方程的结果，或者字母的参数的取值.1若椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的 6 倍，则 m 的值为。解：将原方程变形为 x2y21m1.由题意知 a21m，b21，a1m，b1.1m6，m361.2.若椭圆 x2my21 的焦点在 x 轴上，且长轴长是短轴长的 5 倍，则 m 的值为。解：将原方程变形为 x2y21m1.由题意知 a21，b21m，b1m，a1.51m1，m25.二、【圆锥曲线中椭圆周长问题】圆锥曲线中与方程本身的问题多涉及线段求解，如果与椭圆的
2、定义结合在一起，就会构成问题求解的解题钥匙.3.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点分别为 F1，F2，b4，离心率为35.过 F1 的直线交椭圆于A，B 两点，则ABF2 的周长为。解：如图，由椭圆的定义知ABF2 的周长为 4a，又 eca35，即 c35a，a2c21625a2b216.a5，ABF2 的周长为 20.4.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点分别为 F1，F2，且 a 与 b 满足关系：a2-ab+b221，离心率为35.过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，则ABF2 的周长是。解：如图，由椭圆的定义知ABF2 的周长为 4a，又 eca35，即 c35a
3、，a2c21625a2，所以ab54，代入 a2-ab+b221a5，ABF2 的周长为 20.三、【圆锥曲线中双曲线周长问题】圆锥曲线中与方程本身的问题多涉及线段求解，如果与双曲线的定义结合在一起，就会构成等量关系。根据问题的核心求解问题.5.已知双曲线：x2a2y2b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，a2-ab+b216-43，离心率为 2.过 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，设ABF2 的周长为 2022，则 AB 的长度是.解：因为根据双曲线的定义，2ace所以222aba，即ab3，又因为 a2-ab+b216-43，所以2,42aa，所以323 ab，有双曲线定义得A
4、BABaaABBFBFAFAF282222)()(20222121解得 AB=1007.6.已知双曲线：x2a2y2b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，ab34，离心率为 2.过F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，设ABF2 的周长为 2022，且 AF2-BF2=1000，求12121ABFBFFAFFSSS的值是.解：本题考查双曲线的基本定义，三角形面积关系。因为根据双曲线的定义，2ace所以222aba，即ab3，又因为 ab43，所以2,42aa，因为ABF2 的周长为 2022所以ABABaaABBFBFAFAF28222220222121，所以.1007100021212
5、2212112121ABBFAFyyFFyyFFSSSBABAABFBFFAFF 7.【一般情况】已知双曲线：x2a2y2b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，ab34，离心率为 2.过F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，设ABF2 的周长为 m，且 AF2-BF2=n，求12121ABFBFFAFFSSS的值.答案：.82mn四、【双曲线与离心率问题】8.已知22221(0)xyabab，1F、2F 是椭圆的两个焦点，如果椭圆上存在一点 P，使得1290,F PF离心率 e 的取值范围 【答案】2,1)2【考点定位】本题考查椭圆的简单几何性质离心率问题。【解析 1】可以设点 P（x,
6、y）在椭圆上则00001yyxc xc，即22200 xyc 与椭圆方程联立220022222001xyabxyc 解得222202(),acbxc 因为2200 xa 解得2,1)2e【方法技巧】寻找动点 P 与椭圆基本量之间的关系，借助椭圆的范围建立不等关系。【解析 2】借助焦半径公式1020,PFaexPFaex 因为2221212PFPFF F，解出222202(),acbxc 化简后与上面是一样的。【方法技巧】寻找动点 P 与椭圆基本量之间的关系，借助椭圆的范围建立不等关系。【解析 3】设12,PFm PFn，由椭圆定义和勾股定理得 2222(2)mnamnc，得222222()2m
7、nmnaca 当且仅当mn时取等，解得2,1)2e。【方法技巧】椭圆焦三角形及椭圆的定义，与基本不等式建立不等关系。【解析 4】当 P 点在椭圆短轴端点处时，12F PF为最大，所以只要此处的1290,F PF即可，进而有cb，解得答案一样。让解题事半功倍。9.椭圆22221(0)xyabab，1F、2F 是椭圆的两个焦点，如果椭圆上存在一点 P，使得1260,F PF离心率 e，则的ee14 取值范围 【答案】4，5）10.已知1F、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。【解析】点 M 的轨迹是以1F、2F 为直径的圆，且圆在椭圆内部
8、，所以cb，解得2(0,)2e 五、【一个有趣的结论-椭圆切线垂直问题】11.这里提出一个有趣的结论，是新发现的结论。证明过程从略。如图所示，已知椭圆的标准方程为 C：191622 yx，椭圆曲线上位于第一象限内有一点O1，过点 O1 的切线与标准方程为：2522 yx的O 分别交于点 A 与 B，点 C 与点 B成中心对称，ABC的内切圆的圆心是 O2，以点 O1 为圆心，O1O2 长为半径的圆与O 分别交于点 E、F，求证：（1）直线 AC 与椭圆 C 相切；（2）;01 EFOO(3).只有当1O 运动到 x 轴，或者 y 轴时，直线 EF 才与直线 AB 平行.当 O1在第一象限内时，
9、EF 与 AB 不平行.已知椭圆的标准方程为 C：191622 yx，椭圆曲线上位于第一象限内有一点 O1，过点O1 的切线与标准方程为：9,22rryx的O 分别交于点 A 与 B，点 C 与点 B 成中心对称，ABC的内切圆的圆心是 O2，以点 O1 为圆心，O1O2 长为半径的圆与O 分别交于点 E、F，求证：（1）;01 EFOO（2）只有当1O 运动到 x 轴，或者 y轴 时，直线 EF 才与直线 AB 平行.当 O1 在第一象限内时，EF 与 AB 不平行.具体如图所示，给出几个特殊值的情况：【1】当圆心半径是27 时的图像：【2】当圆心半径是 6 时的图像：【3】当圆心半径是 10 时的图像：【广西-2022-1-28
