1、72.2两条直线的位置关系学习目标1能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直3会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直预习导引1利用法向量确定两直线的位置关系(1)两条直线平行或重合它们的法向量平行(2)两条直线相交它们的法向量不平行(3)两条直线垂直它们的法向量垂直2两直线的夹角两直线的夹角的大小规定在0的范围内，当法向量的夹角满足0时，；当法向量的夹角时，3定理2设直线l1，l2的方程分别为l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2重合存在实数0，使l1与l2平
2、行存在实数0，使l1与l2相交A1B2A2B10；l1与l2垂直A1A2B1B20；l1与l2夹角的余弦cos .要点一判断两直线是否相交例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)方程组有无数组解，表明直线l1和l2重合(3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.规律方法方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两
3、直线重合跟踪演练1判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标(1)(2)解(1)解方程组得该方程组有唯一解所以两直线相交，且交点坐标为(，)(2)解方程组6得2x6y30，因此，和可以化成同一个方程，即和有无数组解，所以两直线重合要点二判断两条直线的位置关系例2判断下列各组直线的位置关系(1)l1：2xy10，l2：x3y50；(2)l1：xy20，l2：2x2y30；(3)l1：3x4y10，l2：6x8y20；(4)l1：xy10，l2：xy30.解(1)对l1，l2，由，知l1与l2相交(2)对l1，l2，由，知l1与l2平行(3)对l1，l2，由，知l1与l2重合(4)对
4、l1，l2，由A1A2B1B211(1)10，知l1l2.规律方法利用法向量判断跟踪演练2根据下列条件，判断直线l1与直线l2的位置关系(1)l1：y3x1，l2：xy60；(2)l1：(lg 2)xy50，l2：(log210)xy60；(3)l1经过点A(1，2 009)，B(1，2 010)，l2经过点P(0，2)，Q(0，5)解(1)l1的一般式方程为3xy10，由，知l1l2.(2)对于l1，l2由A1A2B1B2lg2log210(1)10知l1l2.(3)因为l1过点A(1，2 009)，B(1，2 010)，所以方程为x1，与x轴垂直因为l2过点P(0，2)，Q(0，5)，所以
5、方程为x0，即y轴，所以l1l2.要点三应用位置关系求参数值例3已知直线l1：axya20，l2：ax(a22)y10.问当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？解若A1，A2，B1，B2全不为0时，联立方程组，得1，由得a1或a1，由得a1，所以，当a1时，l1与l2相交；当a1时，l1与l2平行；当a1时，l1与l2重合若A1，A2，B1，B2中有为0的值时，当a0时，方程组化为，这时l1与l2平行；当a220即a时，方程组化为或此时两直线相交综上所述，(1)当a1且a0时l1与l2相交；(2)当a0或a1时，l1与l2平行；(3)当a1时，l1与l2重合规律方法
6、两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20；(2)也可利用法向量来直接求解跟踪演练3已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？解当m0时，则l1：x60，l2：2x3y0，l1与l2相交，当m2时，则l1：x2y60，l2：3y40，l1与l2相交当m0，m2时，.当时，解得m1或m3.当时，解得m3.综上所述，(1)当m1且m3时，()，l1与l2相交；(2)当m1时，(，)，l1与l2平行；(3)当m3时，()，l1
7、与l2重合1直线l过点(1，2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80答案A解析直线2x3y40的法向量为(2，3)，l的法向量为(3，2)，l的方程为3x2yC0，将(1，2)代入得C1，l的方程为3x2y10.2直线x2y10与2xay10平行，则a()A1 B2 C3 D4答案D解析两条直线的法向量分别为n1(1，2)，n2(2，a)，两直线平行，1a220，即a4.3两直线A1xB1yC10，A2xB2yC20垂直的条件是()AA1A2B1B20 BA1A2B1B20C.1 D.1答案A解析两直线的法向量分别为n1(A1，
8、B1)，n2(A2，B2)，两直线垂直的条件是n1n2，即n1n20，A1A2B1B20.4若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.答案1解析直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，12(2)m0，m1.5已知直线ax4y20和2x5yb0垂直，交于点A(1，m)，则a_，b_，m_.答案10122解析两直线垂直，则2a4(5)0，a10.(1，m)为两直线的交点，1014m20，m2.又点(1，2)在直线2x5yb0上，2125b0，b12.1利用法向量判定两直线的位置关系时，如果两直线的法向量平行，一定要验证，因为可能出现平行或重合两种情况2与直线AxByC0平行的直线系
9、方程为AxBy0(C)；与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAym0.利用此结论解平行、垂直问题可以简化解题过程3平行与垂直是两直线间最重要的位置关系，利用平行和垂直的条件判断多边形的形状是常见的基本应用，要考虑各种情况.一、基础达标1过点(3，2)且与直线2xy50垂直的直线方程为()Ax2y10 Bx2y10Cx2y10 D2y10答案B解析直线与2xy50垂直，所以所求直线的法向量为(1，2)，其方程可设为x2yC0，将(3，2)代入得34C0，C1，即所求方程为x2y10.2已知直线(a2)xay10与直线2x3y50平行，则a的值为()A6 B6 C D.答案B解析若两直线平行，
10、则.解得a6.3直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a为()A1 B1 C1 D答案C解析若两直线互相垂直，则(a2)(a1)(1a)(2a3)0，(a1)(a1)0，a1.4若直线axby110与3x4y20平行，并过直线2x3y80和x2y30的交点，则a，b的值分别为()A3，4 B3，4C4，3 D4，3答案B解析由方程组，得交点B(1，2)，代入方程axby110中，有a2b110，又直线axby110平行于直线3x4y20，所以，.由，得a3，b4.5两直线2x3yk0和xky120互相垂直，则k_.答案解析两直线的法向量分别为n1(2，3)，n2(
11、1，k)，若两直线垂直，则n1n223k0，k.6若直线l1：xy0与直线l2：axy10的夹角为60，则a_.答案0或解析两直线的法向量分别为n1(，1)，n2(a，1)，则由已知得cos 60.解得a0或a.7求经过直线x2y10和xy20的交点且与直线2xy30平行的直线l的方程解由方程组得直线l与直线2xy30平行，可设l为2xyC0.l过点(5，3)，2(5)3C0，解得C13.直线l的方程为2xy130.二、能力提升8已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们夹角的余弦值为()A. BC. D.答案A解析两直线的法向量分别为n1(3，4)，n2(3，5)，则cos
12、|cosn1，n2|.9已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(1，a2)，如果l1l2，则a_.答案6或5解析直线l1的方向向量n1(a5，3a)，直线l2的方向向量n2(3，a5)若l1l2，则n1n20，即3(a5)(3a)(a5)0，a5或a6.10若三条直线xy10，2xy80和ax3y50共有三个不同的交点，则实数a应满足的条件是_答案aR且a且a3且a6解析解方程组得即两直线的交点坐标为(3，2)，依题意知，实数a满足的条件为解得即实数a满足的条件为aR，且a且a3且a6.11已知两直线l1：x(1m)ym2，l2：2mx4y16，求当m为
13、何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直？解直线l1和l2的法向量分别为n1(1，1m)，n2(2m，4)(1)若两直线相交，则n1与n2不平行，42m(1m)0，解得，m2且m1.(2)若两直线平行，则，解得m1.(3)若两直线重合，则，解得m2.(4)若两直线垂直，则n1n2，2m4(1m)0，m.综上所述，当m2且m1时，l1与l2相交；当m1时，l1与l2平行；当m2时，l1与l2重合；当m时，l1与l2垂直三、探究与提高12是否存在实数a，使三条直线l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0能围成一个三角形？请说明理由解(1)当l1l2时，a，即a1
14、；(2)当l1l3时，a1，即a1；(3)当l2l3时，1，a1.(4)当l1与l2，l3相交于同一点时，由得交点(1a，1)，将其代入axy10中，得a2或a1.故当a1且a1且a2时，这三条直线能围成一个三角形13如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD5 m，宽AB3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？解如图以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系由AD5，AB3，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)设点M(x，0)，则(5，3)，(x5，3)因为ACDM，则0，即(5，3)(x5，3)0，5(x5)90，解得x，即BM m.故当BM m时，两条小路AC与DM相互垂直
