1、二次函数问题一、知识回顾二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数
2、学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法如：二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：零点式：存在零点，则有二、例题精讲例1.若函数是偶函数，则函数的最小值为 解：二次函数是偶函数，其图像关于轴对称函数的最小值为练习1. 若二次函数的图像的对称轴是轴，则实数的值是 解：由已知解得例2. 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 .解：由得，即，切线方程为，即练习2.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 解：由已知，而，例3.若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 解：由已知对一切实数恒成立（1）当时，满足题意；（2）当
3、时，只须解得由（1）、（2）得练习3.若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 解：由已知对一切实数恒成立（1）当时，满足题意；（2）当时，只须解得由（1）、（2）得例4. 已知二次函数和函数，（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不等的实根，求证：函数在上是单调函数.解：（1）为偶函数, ,，即,. . 的定义域为,且 , 函数为奇函数.（2）由,得 ，由，且, 得,即 函数在上是单调函数.练习4.已知二次函数的图像过点，且得解集为（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数在上的最值解：由已知设二次函数，其中将点带入，解得（1），要使在区间上单调递增，只须，解
4、得；（2）由，得，函数在上的最大值为0，最小值为例5. 设为实数,记函数的最大值为,求.解: (1) 若,则, .(2) 若,则,当时，由知在上单调递增，；当时， 若，即，则，若，即，则，若，即，则.综上所述：=.思考： 设为实数，记函数的最大值为，求.分析: 令，则， .函数的定义域为, .，.由题意知即为函数，的最大值，化归为例2求解.或由函数的定义域为，可令，则，又令，则，练习5. 设为实数，函数（1）若，求实数的取值范围； （2）求的最小值解：（1）若，则（2）当时， 当时， 综上例6.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数(1)若曲线上的点P到点
5、Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值；(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解：（1）设，则； 又的图像与直线平行，即 又在取最小值， ，即，； 设，则 ，解得或 ；21世纪教育网 （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，若， 函数有两个零点；若，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点 21世纪教育网 练习6.已知关于的二次方程（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求实数的取值范围；（2）若方程两根均在区间内，求实数的取值范围解:设二次方程所对应的函数为（1）要使方程的两根一根在区间内，另一根在区间内，由根的分布知识得解得；（2）要使方程两根均在区间内，由根的分布知识得解得即 备用己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；证明：（1）依题意，对任意，都有（2）充分性：必要性：对任意
