1、20202021学年（下）抚松一中暑假综合题（九）高一数学一、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数的共轭复数为，且满足，为虚数单位，则复数的虚部是（ ）AB2 CD2先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为（ ）ABCD3任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件)的概率是0.97据此我们知道（ ）A取定一个标准班，事件发生的可能性是B取定一个标准班，事件发生的概率大概是0.97C任意取定10000个标准班，其中大约9700个班发生事件D随着抽取的标准班数不断增大，事件发生的频
2、率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动4如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN（ ）A3 B4 C5 D65如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）A B C D6长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）AB CD7在中，则（ ）A534 B543 C D8的内角A，B，C所对的边分别
3、为a，b，c，则B的解的个数是（ ）A2 B1 C0 D不确定9边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，此时点到直线的距离是（ ）A B C D10下列说法正确的是（ ）A对于任意两个向量，若，且与同向，则B已知为单位向量，若，则在上的投影向量为C设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分必要条件D若，则与的夹角是钝角11在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A四点共面B平面平面C直线与垂直D平面12正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）AB平面ABCDC三棱锥的体积为定值D的面积与的面积不相等二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答
4、案填在题中的横线上)13、已知向量，则、的夹角为_14、某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人通过考核的概率分别为，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为_15、某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是_16、已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若=a，=b，且ab，则；若a，b相交且都在
5、，外，a，b，则；若a，a，则；若a，a，=b，则ab其中正确命题的序号是_三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17动车和BRT(快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对这两种出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下：满意程度30岁以下30-50岁50岁及50以上乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT满意5051001010020一般201540202025不满意5020102020（1）若从样本中任取1人，
6、求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率；（2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中3050岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差；（3）若从样本中30-50岁的满意程度一般的乘客中按照乘车类型用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机挑选3人咨询改进措施，求这3人中至少有2人乘坐BRT的概率18、甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少
7、有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程19、 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ACB=45，PA底面ABCD，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点（1）求证：；（2）求点B到平面PCD的距离20、如图，边长为的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，且（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角正切值20202021学年（下）抚松一中暑假综合题（九）高一数学答案二、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
8、1设复数的共轭复数为，且满足，为虚数单位，则复数的虚部是（ ）AB2 CD【答案】A【解析】令，则，所以，即复数的虚部是故选A2先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有种结果，满足条件的事件是点数之和是7，可以列举出所有的事件，共有6种结果，根据古典概型概率公式得到3任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件)的概率是0.97据此我们知道（ ）A取定一个标准班，事件发生的可能性是B取定一个标准班，事件发生的概率大概是0.97C任意取定10000个标准
9、班，其中大约9700个班发生事件D随着抽取的标准班数不断增大，事件发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动【答案】D【解析】对于给定的一个标准班来说，事件发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10000个标准班，在极端情况下，事件有可能都不发生，故C也不对，4如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN（ ）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，所以MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，所以MPN90，PNAC4，PMBD3，所以MN5故
10、选C5如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】细沙在上部容器时的体积，流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为，则，所以，下部圆锥形沙堆的母线长，故此沙堆的侧面积6长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）AB CD【答案】C【解析】设球的半径为R，由题意，球的直径是长方体的体对角线，所以，解得，所以球的表面积为7在中，则（ ）A5
11、34 B543 C D【答案】D【解析】由题意，在中， 利用向量的数量积的定义可知，即，即，即，设，解得，所以，所以由正弦定理可得8的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则B的解的个数是（ ）A2 B1 C0 D不确定【答案】A【解析】由正弦定理知，即 ，解得，又，由三角函数性质知角B由两个解，当角B为锐角时，满足，即存在；当角B为钝角时，则满足，即存在；故有两个解9边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，此时点到直线的距离是（ ）A B C D【答案】D【解析】如图，结合题意绘出图象，取中点，连接，因为为边上的高，所以，则即为二面角的平面角，因为是正三角形，所以，是正三角形，因为，是中
12、点，所以，长度即点到直线的距离，故选D10下列说法正确的是（ ）A对于任意两个向量，若，且与同向，则B已知为单位向量，若，则在上的投影向量为C设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分必要条件D若，则与的夹角是钝角【答案】B【解析】对于A选项，由于向量不能比较大小，故A选项错误；对于B选项，在上的投影为，故在上的投影向量为，故B选项正确；对于C选项，若存在负数，使得，则与方向相反，夹角为，故；反之，若，则与的夹角为钝角或者，所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件，故C选项错误；对于D选项，若，则与的夹角是钝角或者，故D选项错误11在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
13、A四点共面B平面平面C直线与垂直D平面【答案】B【解析】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选B12正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）AB平面ABCDC三棱锥的体积为定值D的面积与的面积不相等【答案】A【解析】对于A选项，取与点重合，连接、，则，所以为等边三角形，则，此时，与不垂直，A选项错误；对于B选项，因为平面平面，平面，所以，平面，B选项正确；对于C选项，平面，平面，则，所以，（定值），且点到
14、平面的距离为定值，因此，三棱锥的体积为定值，C选项正确；对于D选项，连接、，取的中点，连接，则，且为的中点，且，所以，D选项错误二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13、已知向量，则、的夹角为_【答案】【解析】，则，则故答案为14、某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人通过考核的概率分别为，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为_【答案】【解析】设这三人中仅有两人通过考核为事件，小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件，则，所以，所以15、某车间
15、12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是_【答案】13.7，14.7，15.3【解析】将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8由i=1225%=3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数即=13.7；由i=1250%=6，得的给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即=14.7；由i=1275%=9，得所给
16、数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即=15.3故答案为13.7，14.7，15.316、已知a，b表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题：若=a，=b，且ab，则；若a，b相交且都在，外，a，b，则；若a，a，则；若a，a，=b，则ab其中正确命题的序号是_【答案】【解析】错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；错误，与也可能相交；正确，由线面平行的性质定理可知故答案为三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17动车和BRT(快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动
17、车和BRT的人数众多，为了调查乘客对这两种出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下：满意程度30岁以下30-50岁50岁及50以上乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT满意5051001010020一般201540202025不满意5020102020（1）若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率；（2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中3050岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差；（3）若从样本中30-50岁的满意程度一般的乘客中按照乘车类型用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机挑选
18、3人咨询改进措施，求这3人中至少有2人乘坐BRT的概率【答案】（1）；（2）平均分为，方差为；（3）【解析】（1）30以下的乘客有人则所求概率为（2）依题意，样本中3050岁乘坐动车乘客满意程度的平均分为方差为（3）依题意，乘坐动车的抽4人，记为甲、乙、丙、丁；乘坐BRT的抽2人，记为A，B从这6人中随机抽取3人，所有的情况为(甲，乙，丙），(甲，乙，丁），(甲，乙，A)，(甲，乙，B)，(乙，丙，丁），(乙，丙，A)，(乙，内，B)，(丙，丁，A)，(丙，丁，B)，(丁，A，B)，(甲，丙，丁），(甲，丙，A)，(甲，B)，(甲，A)，(甲， B)，(甲，B)(乙，丁，A)，(乙，丁，B)，
19、(乙，A，B)，(丙，B)，共20种所以满足条件的有4种，故所求的概率为.18、甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程【答案】（1）056；（2）038；（3）094【解析】（1）由题意可知，且事件A，B相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以；（2）事
20、件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥所以（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，正确解法为20、 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ACB=45，PA底面ABCD，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点（1）求证：；（2）求点B到平面PCD的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，所以EFCD，所以EFAB平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，所以M
21、NEF，所以ABMN（2）因为ACB=45，AB=AC=PA=2，所以BAC=90=ACD，又底面ABCD，CD平面PAC，由勾股定理可得CD平面PAC，都是直角三角形，故设点到平面的距离为，再根据可得，即.20、如图，边长为的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，且（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角正切值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）平面平面，平面平面，平面，平面，平面，因为四边形为正方形，则，即，所以，平面；（2）取的中点，连接、，为的中点，则，四边形为正方形，则，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，所以，直线与平面所成角为，平面，平面，在中，故，因此，直线与平面所成角正切值为高一数学 综合复习题 第18页（共4页） 大道至简，数是最美的语言.
