1、第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 考情分析 总纲目录 考点一 空间几何体的三视图 考点二 空间几何体的表面积与体积(高频考点)考点三 与球有关的切、接问题 考点四 立体几何中的数学文化 考点一 空间几何体的三视图 1.一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.2.由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体.典型例题 (1)(2017北京理,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长
2、棱的长度为()A.3 B.2 C.2 D.2232(2)(2017课标全国理,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10 B.12 C.14 D.16答案(1)B(2)B解析(1)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD=2.故选B.(2)由多面体的三视图还原直观图如图.2222223该几何体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成
3、,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2=12.故选B.(24)22由三视图还原直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.方法归纳跟踪集训 1.(2017广东惠州第三次调研)如图所示,将图(1)中的正方体截去两个三棱锥,得到图(2)中的几何体,则该几何体的侧视图为()答案B 从几何体的左面看,AD1在视线范围内,画实线,C1F不在视线范围内,画虚线.选B.2.(2017广东广州综合测试(一)如图,网格纸上小正形的边长为1,粗线画出的是某
4、几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是()83答案D 由题意可得该几何体可能为四棱锥.如图所示,其高为2,底面为正方形(面积为22=4),因为该几何体的体积为 42=,满足条件,所以该几何体的俯视图可以为一个直角三角形.选D.1383考点二 空间几何体的表面积与体积(高频考点)命题点1.由三视图求空间几何体的体积;2.由三视图求空间几何体的表面积;3.根据已知空间几何体求其表面积或体积.1.柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);(2)S锥侧=ch(c为底面周长,h为斜高);(3)S台侧=(c+c)h(c,c分别为
5、上下底面的周长,h为斜高).12122.柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台=(S+S)h(不要求记忆).1313SS典型例题 (1)(2017课标全国,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90 B.63 C.42 D.36(2)(2016课标全国,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36 B.54+18 C.90 D.815
6、5解析(1)由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的体积V=3214=63.故选B.(2)由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3 的斜四棱柱.其表面积S=232+233+236=54+18.故选B.12555答案(1)B(2)B空间几何体的表面积与体积的求法(1)据三视图求表面积、体积时,解题的关键是对所给三视图进行分析,得到几何体的直观图;(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意重合部分的面积;(3)求规则几何体的体积时,只需确定底面与相应的高,而求一些不规则几何体的体积时,往往需采用分割或补形
7、思想,转化求解.方法归纳跟踪集训 1.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为()A.72+6 B.72+4C.48+6 D.48+4答案A 由三视图知,该几何体由一个正方体的 与一个圆柱的 组合而成(如图所示),该几何体的表面积为162+(16-4+)2+4(2+2+)=72+6,故选A.34142.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为 .14解析 由几何体的三视图可画出该几何体的直观图如下:该几何体的体积V=211+1=2+.122答案 2+2考点三 与球有关的切、接问题 与球有关的组
8、合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.典型例题 (1)(2016课标全国,4,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4 B.C.6 D.(2)(2017课标全国,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB
9、=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .92323解析(1)要使球的体积V最大,则球的半径R最大.由题意,知当球与直三棱柱的上、下底面都相切时,球的半径取得最大值,为,此时球的体积为 R3=,故选B.(2)由题意作出图形,如图.设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC32434333292答案(1)B(2)36=SA=AC=R.连接OA,OB,则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面SCB,所以OAOB,则AB=R,所以ABC是边长为 R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,C
10、O1.则OO1平面ABC,CO1=R=R,则OO1=R,则VS-ABC=2VO-ABC=2 (R)2 R=R3=9,所以R=3.所以球O的表面积S=4R2=36.22223322632263RR33133423313多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题.(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.(3)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC
11、=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,用4R2=a2+b2+c2求解.方法归纳跟踪集训 1.(2017课标全国,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.B.C.D.3424答案B 设圆柱的底面半径为r,由题意可得r2+=12,解得r=.圆柱的体积V=r21=,故选B.21232342.(2017广东惠州第三次调研)已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于()A.
12、B.C.D.787643232答案C 当注入水的体积是该三棱锥体积的 时,设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等),依题意,有=,得x=2.易得小三棱锥的高为,设小球半径为r,则 S底面=4 S底面r,得r=,故小球的表面积S=4r2=.故选C.7834x182 63132 63136623考点四 立体几何中的数学文化 典型例题 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图(1)所示,图(2)中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,当
13、其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是()图(1)图(2)A.a,b B.a,c C.c,b D.b,d答案A解析 当正视图和侧视图完全相同时,“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方,正视图为一个圆,俯视图为一个正方形,且两条对角线为实线,故选A.方法归纳解这类题的关键是观察图形.跟踪集训 1.(2017吉林长春质量检测(三)堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.九章算术中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺),答案是()A.25 500
14、立方尺 B.34 300立方尺C.46 500立方尺 D.48 100立方尺答案C 2丈=20尺,18丈6尺=186尺,2丈5尺=25尺.由三视图可知,堑堵为一个三棱柱,其体积为 1862025=46 500(立方尺).故选C.122.(2017广东广州综合测试(一)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.8 B.12 C.20 D.24答案C 解法一:将三棱锥P-ABC放入长方体中,如图,三棱
15、锥P-ABC的外接球就是长方体的外接球.因为AB=2,AC=4,ABC为直角三角形,所以BC=2.设外接球的半径为R,依题意可得(2R)2=22+22+(2)2=20,故R2=5,则球O的表面积为4R2=20,选C.解法二:利用鳖臑的特点求解.如图,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC的中点为球心O,易得2R=224233PC=,所以球O的表面积为4R2=20,选C.201.(2017新疆第二次适应性检测)球的体积为4,平面截球O的球面所得圆的半径为1,则球心O到平面的距离为()A.1 B.C.D.3236随堂检测 答案B 设球的半径为R,则有 R3=4,解
16、得R=,因此球心O到平面的距离d=,选B.4333221R 22.(2017湖北七市(州)联考)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形,底边长为4,腰长为3,则该几何体的表面积为()A.6 B.10 C.8 D.12答案B 根据三视图,可以看出该几何体是一个圆锥,其底面圆的半径r为2,母线长l为3,故该圆锥的表面积S=r(r+l)=2(2+3)=10,故选B.3.(2017湖南湘中名校联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.321603C.D.3233523答案A 由三视图可知,该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的,所以该几何体的体积V=448-444=,故选A.12131216034.(2017福建福州综合质量检测)已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为 R,AB=AC=BC=2,则球O的表面积为()A.B.16C.D.64323163643答案D 设ABC外接圆的圆心为O1,半径为r,因为AB=AC=BC=2,所以ABC为正三角形,其外接圆的半径r=2,因为OO1平面ABC,所以OA2=O+r2,所以R2=+22,解得R2=16,所以球O的表面积为4R2=64,故选D.32 32sin6021O232 R
