1、专题四 函数的图象与性质 目 录 类型三 二次函数的图象与性质类型二 反比例函数的图象与性质类型一 一次函数的图象与性质数据剖析 题型突破 3 一次函数的图象与性质 一 一次函数是初中函数内容的基础,其图象直观、形象地反映了自变量与函数的对应关系以及变化规律,不仅从形的角度刻画了一次函数的性质,同时也架起了联系一次函数与一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式的桥梁.利用一次函数的性质及变量的限制条件,可以解决某些实际生活中的选优问题.一次函数的图象与性质在中考中占有重要的地位,是中考热点之一.返回子目录 题型讲解 数据剖析 题型突破 3 一次函数的图象与性质 一 解决函数图象与性质的问题,
2、关键是由一次函数的解析式确定函数图象,由函数图象的位置判断解析式中k,b的符号,体现了数学中非常重要的数形结合思想.解决此类问题依照以下步骤:(1)利用等量关系写出所求的函数关系式;(2)根据题目中的不等关系,求出自变量x的取值范围,借助一次函数的性质分析问题.返回子目录 方法点拔 解题技巧 (2020河北模拟)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发,沿同一条路相向而行.小玲开始跑步中途改为步行,到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家.两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示.(1)家与图书馆之间的路程为 m,小玲步行
3、的速度为 m/min;(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(3)求两人相遇的时间.返回子目录 例题14000100分析：(1)家与图书馆之间的路程即为开始时小东离家的距离,小玲步行的时间为20分钟,步行的路程为2 000米,根据“速度=路程时间”计算;(2)先求出小东的骑车的时间,再用待定系数法或数量关系求函数关系式;(3)求出直线OA和CD的关系式,再求交点A的坐标(也可利用相等关系列一元一次方程求解).解析：(1)当x=0时,y=4 000;小玲步行的速度为 =100(m/min).(2)如图,小东从图书馆到家的时间x=(min),D,.设CD的解析式为y=
4、kx+b(k0),图象过D,和C(0,4 000)两点,+=,=,解得 =,=.CD的解析式为y=-300 x+4 000.小东离家的路程y关于x的函数解析式为y=-300 x+4 000 .设OA的解析式为y=kx(k0).图象过点A(10,2 000),10k=2 000,k=200.OA的解析式为y=200 x(0 x10).=,=+,解得 =,=.故两人相遇时间为第8分钟.返回子目录【高分点拨】本题主要考查了从函数图象中获取信息、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程的关系,了解上述知识点是解决问题的关键.某班同学从学校出发去自然保护区旅行,一部分乘坐大客车先出发,余下的
5、几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行.大客车中途停车等候,小轿车赶上来之后,大客车以出发时的速度的 继续行驶,小轿车保持原速度不变.小轿车司机因路线不熟错过了景点入口,在驶过景点入口6 km时,原路提速返回,恰好与大客车同时到达景点入口.两车距学校的路程s(单位:km)和行驶时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示.请结合图象解决下面问题:(1)学校到自然保护区的路程为 km,大客车途中停留了 min,a=;返回子目录 当堂检测140515(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远?(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80 km/h,请你帮助小轿车
6、司机计算折返时是否超速?(4)若大客车一直以出发时的速度行驶,中途不再停车,那么小轿车折返后到达自然保护区入口,需等待 分钟,大客车才能到达景点入口.10返回子目录 解:(1)学校到自然保护区的路程为40 km,大客车途中停留了5 min,设直线AD的解析式为s=k1t+b1,将(20,0)和(60,40)代入解析式中,得k1=1,b1=-20,s=t-20.将C(35,a)代入可求得a=15;(2)由(1)C(30,15),大客车开始的速度为1530=(km/min),(40-15)=35,35+35=70,E(70,40);设线段CE的解析式为s=kt+b(k0),将(35,15)和(70
7、,40)代入解析式中,得k=,b=-10,返回子目录 s=t-10(35t70).当t=60时,s=.大客车离自然保护区入口还有40-=(km).(3)由直线CD的解析式s=t-20.当s=46时,t=66,6 km(70-66)min=km/min=90 km/h80 km/h,小司机折返时已经超速.(4)40=80(min),80-70=10(min).需等待10min,大客车才能到达自然保护区入口.数据剖析 题型突破 3 反比例函数的图象和性质 二 纵观近几年的全国各地中考压轴题,考查反比例函数k的几何意义、与几何的综合、与相似的结合经常出现,一是考查反比例函数中的坐标乘积不变性和面积不
8、变性,二是考查反比例函数与一次函数的联系,试题综合性强,不断推陈出新.返回子目录 题型讲解 数据剖析 题型突破 3 反比例函数的图象和性质 二 解答这类题时,常常要利用函数的基本性质及其意义.另外,一般用待定系数法求函数的解析式;在同一个坐标系中,利用函数的图象与性质比较一次函数与反比例函数的大小;利用函数与方程组及不等式的关系解决综合问题等.所以同学们要熟练掌握一次函数和反比例函数的性质并会运用其解决某些实际问题,领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法.返回子目录 方法点拔 数据剖析 题型突破 3 反比例函数的图象与性质 二 解决此类问题一般从三个方向出发:(1)借
9、助图象的增减性完成比较大小和取值范围类问题的求解.(2)借助“k”的意义解决面积类问题的求解.(3)借助图象的对称性和交点坐标,完成综合类的问题.返回子目录 解题技巧(2021南京模拟)如图,一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A(2,m),B(n,-2)两点.过点B作BCx轴,垂足为C,且SABC=5.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)根据所给条件,请直接写出不等式k1x+b 的解集;(3)若P(p,y1),Q(-2,y2)是函数y=图象上的两点,且y1y2,求实数p的取值范围.返回子目录 例题2返回子目录 分析：利用A,B的坐标求出反比例函数解析式、ABC的面积,即可
10、得出关于n的方程,最后代入反比例函数和一次函数的解析式,即可求出答案;(2)由图可知,点B的横坐标到原点的取值范围及点A的横坐标向右的取值范围即为所求;(3)根据反函数的图象和性质,当点P在第一象限时,p0;当点P在第三象限时,p-2.解析：(1)把A(2,m),B(n,-2)代入y=得k2=2m=-2n,即m=-n,则A(2,-n),如图,过A作AEx轴于E,过B作BFy轴于F,延长AE,BF交于D,A(2,-n),B(n,-2),BD=2-n,AD=-n+2,BC=|-2|=2,SABC=BCBD,2(2-n)=5,解得n=-3,即A(2,3),B(-3,-2),把A(2,3)代入y=得k
11、2=6,即反比例函数的解析式是y=;把A(2,3),B(-3,-2)代入y=k1x+b得 =+,=+,解得k1=1,b=1,即一次函数的解析式是y=x+1.(2)A(2,3),B(-3,-2),不等式k1x+b 的解集是-3x2.(3)分为两种情况:当点P在第三象限时,要使y1y2,实数p的取值范围是p-2;当点P在第一象限时,要使y1y2,实数p的取值范围是p0.即p的取值范围是p-2或p0.【高分点拨】本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式,一次函数和反比例函数的图象和性质,三角形的面积等知识点,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较好
12、,有一定的难度,运用了数形结合的思想.(2020河北检测)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(x0)的图象交于点M,过点M作MHx轴于点H,且AB=BM,点N(a,1)在反比例函数y=(x0)的图象上.(1)求k的值;(2)在x轴的正半轴上存在一点P,使得PM+PN的值最小,求点P的坐标;(3)点N关于x轴的对称点为N,把ABO向右平移m个单位到ABO的位置,当NA+NB取得最小值时,请你在横线上直接写出m的值,m=.返回子目录 当堂检测24.75返回子目录 解:(1)把x=0代入y=2x+2,得y=20+2=2,点B(0,2),即BO=2.BOMH,AB=
13、BM,AOBAHM,AM=2AB.=,MH=2BO=4.点M在y=2x+2上,4=2x+2,得x=1,点M的坐标为(1,4).点M在反比例函y=(x0)的图象上,4=,k=4.(2)如图,过点N作关于x轴的对称点N,连接MN,交x轴的正半轴于点P,则点P即为所求,此时PM+PN的值最小.返回子目录 点N(a,1)是反比例函y=(x0)图象上的点,1=,a=4.点N的坐标为(4,1).点N的坐标为(4,-1).设直线MN的函数表达式y=kx+b,点M(1,4),N(4,-1)在直线MN上,=+,=+,解得 =,=.y=-x+,当y=0时,x=,即点P的坐标为,.(3)4.75.二次函数是一个重要
14、的函数模型,重点考查分类讨论,数形结合,函数与方程,转化与化归等数学思想.每年中考必考,难度适中,主要考查二次函数的图象与性质,以及二次函数与一次函数的关系及应用.二次函数性质和图象特征的应用的三个着手点:对称性、等面积、取值范围,有利于数学教师的课堂教学有针对性地开展.解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析,将函数的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解.返回子目录 题型讲解 方法点拨 解决这类问题一般遵循这样的方法:(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方程;(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式
15、转化为顶点式;(3)根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;解题技巧(4)二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和图象上的已知点关于对称轴对称的点的坐标,或已知函数图象与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标;(5)与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+ca0本身就是含有字母x的二次函数.(2020华师附中模拟)已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴、y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;(2)
16、如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5-(x-b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围;(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在AOB内,若点C,D,都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.返回子目录 例题3返回子目录 分析：(1)根据二次函数顶点式可以知道M(b,4b+1),即x=b,y=4b+1,消去b,得y=4x+1;(2)由题意知B(0,5),二次函数过点B,代入解析式可求得b的值,求得点A的坐标,再利用函数图象比较大小;(3)先通过点M在AOB内得到b的取值范围,也就是抛物线的对称轴,再根据抛物线的对称性和增减性确定y1,y2大小关系.解析：(1)点M的坐标是(b
17、,4b+1),把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,点M在直线y=4x+1上.(2)如图3,直线y=mx+5与y轴交于点B,点B的坐标为(0,5).又B(0,5)在抛物线上,5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2,二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,当y=0时,得x1=5,x2=-1.A(5,0),观察图象可得,当mx+5-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x5.返回子目录(3)如图4,直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,而直线AB的表达式为y=-x+5,解方程组 =+,=+,得 =,=,点E,F(0,1).点M在AOB内,14b+1,0b.返回子目录 返回子
18、目录 当点C,D关于抛物线对称轴(直线x=b)对称时,b-=-b,b=.且二次函数图象的开口向下,顶点M在直线y=4x+1上,综上:当0by2;当b=时,y1=y2;当b时,y1y2.【高分点拨】本题主要考查了二次函数解析式的求法及其与几何图形结合的综合应用.要会利用数形结合思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数对称轴的意义,即可比较函数值的大小.已知二次函数y=ax2-2x+3经过点A(-3,0).(1)求该函数的解析式;(2)如图,点P是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点P的横坐标为t,连接AC,PA,PC.求ACP的面积S关于t的函数关系式;求ACP的面积的最大值,并求出此时点P的
19、坐标.返回子目录 当堂检测3返回子目录 解:(1)抛物线y=ax2-2x+3经过点A(-3,0),0=a(-3)2-2(-3)+3,解得a=-1.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)如图,过点P作PNAO于点N,交AC于点Q.设直线AC的解析式为y=kx+b(k0),将A(-3,0),C(0,3)代入y=kx+b,得 +=,=,解得 =,=.直线AC的解析式为y=x+3.返回子目录 点P在抛物线y=-x2-2x+3上,点Q在直线AC上,点P的坐标为(t,-t2-2t+3),点Q的坐标为(t,t+3),PQ=yP-yQ=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t,S=SPQC+SPQA=
20、(-t2-3t)3=-t2-t.S=-t2-t,当t=-=-时,Smax=-=.当t=-时,yP=-2 +3=.ACP的面积的最大值是,此时点P的坐标为 ,.1.(2021河北模拟)已知二次函数y=x2-x+6的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点坐标;(2)求过B,C两点的一次函数的解析式;(3)如果P(x,y)是线段BC上的动点,试求POA的面积S与x之间的关系式.返回子目录 专题四 高效测评 解：(1)当y=0时,x2-x+6=0,解得x1=4,x2=6,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(6,0);当x=0时,y=x2-x+6=6,点C的坐标为(0,6).
21、(2)设过B,C两点的一次函数的解析式为y=kx+b(k0),将B(6,0),C(0,6)代入y=kx+b,得 +=,=,解得 =,=,过B,C两点的一次函数的解析式为y=-x+6.(3)过点P作PEx轴,垂足为E,如图.点P的坐标为(x,y)(0 x6),点E的坐标为(x,0),PE=y=-x+6,S=OAPE=4(-x+6)=-2x+12(0 x6).2.(2021石家庄模拟)如图,正方形ABCD的边长为2 cm,E,F,G,H分别从A,B,C,D向B,C,D,A同时以0.5 cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:HAEEBF;(2)设四边形EFGH的面积为S(cm2),求
22、S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(3)画出(2)的图象,利用图象回答t为何值时,S最小,是多少?解:(1)证明:E,F,G,H分别从A,B,C,D向B,C,D,A同时以0.5 cm/s的速度移动,AE=BF=CG=DH.四边形ABCD是正方形,EB=FC=GD=HA,A=B=90,HAEEBF(SAS).(2)依题意得DH=AE=0.5t,则AH=2-0.5t,在RtAEH中,HE2=AH2+AE2,又由(1)HAEEBF可得DHG+AHE=90,四边形HEFG是正方形,S=HE2=AH2+AE2=(0.5t)2+(2-0.5t)2=t2-2t+4(0t4).(3)由图象可知,当
23、t=2时S最小,S最小=2.3.(2021河南郑州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=(n0)的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,点B坐标为(m,-1),ADx轴,且AD=3,tan AOD=.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求AOB的面积;(3)点E是x轴上一点,且AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点E的坐标.解:(1)在RtOAD中,ADO=90,tan AOD=,AD=3,OD=2,A(-2,3),把A(-2,3)代入y=,得n=3(-2)=-6,反比例函数解析式为y=-,把B(m,-1)代入y
24、=-,得m=6,把A(-2,3),B(6,-1)分别代入y=kx+b,得 +=,+=,解得 =,=,一次函数解析式为y=-x+2.(2)当y=0时,-x+2=0,解得x=4,则C(4,0),SAOB=44=8.(3)当OE3=OE2=AO=+=13时,E2(-,0),E3(,0);当OA=AE1=时,得到OE1=2OD=4,即E1(-4,0);当AE4=OE4时,由A(-2,3),O(0,0),得到直线AO解析式为y=-x,AO的中点坐标为(-1,1.5),令y=0,得到x=-,即E4 ,.综上,当点E(-4,0)或(,0)或(-,0)或-,0 时,AOE是等腰三角形.4.(2020唐山模拟)
25、如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BCy轴,垂足为点C,连接AB,AC.(1)求该反比例函数的解析式;(2)若ABC的面积为6,求直线AB的表达式.解:(1)设该反比例函数的解析式为y=.点A(2,3)在该反比例函数图象上,3=,k=6,该反比例函数的解析式为y=.(2)如图,作ADBC于点D.点B在该反比例函数图象上,设B点的坐标为,.又BCy轴,BC=a.ADBC,AD=3-.SABC=BCAD=6,即a =6,a=6,点B的坐标为(6,1).设直线AB的解析式为y=kx+b,+=,+=,k=-,b=4.直线AB的解析式为y=-x+4.5.(202
26、0苏州模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点,PHx轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值;当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.解:(1)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),把点C(0,-3)代入,得-3=a(0+1)(0-3),解得a=1,二次函数解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)设BC所在直线的表达式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,-3)代入,得 =+,=
27、,解得 =,=,直线BC的表达式为y=x-3,再设点P的坐标为(m,m2-2m-3),PHx轴于点H,M的坐标为(m,m-3),PM=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m.-10,PM有最大值,当m=时,PMmax=()=.设点P的坐标为(x,x2-2x-3),则M的坐标为(x,x-3),PM=-x2+3x.当PM=PC时,-x2+3x=+(),解得x=0或x=2,x=0不合题意,舍去,x=2,此时,点P的坐标为(2,-3);当PM=CM时,-x2+3x=+()(),解得x=0或x=3+或x=3-,x=0,x=3+不合题意,舍去,x=3-,此时,点P的坐标为(3-,2-4).综上所述,
28、满足条件的点P有两个,其坐标分别为(2,-3)或(3-,2-4).6.(2020秦皇岛模拟)如图,二次函数y=-x2+bx+2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-4,0),P是抛物线上一点(点P与点A,B,C不重合).(1)b=,点B的坐标是 ;(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PMMB=12?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,BC,判断CAB与CBA的数量关系,并说明理由.（，0）解:(1)b=-,B,.(2)假设点M在PB之间,存在PMMB=12,如图1,过点P作EFAC,交坐标轴于点E和F,则=,A,B两点的
29、坐标分别为(-4,0),AB=+4=,AE=,点E的坐标为 ,由A,C两点的坐标可得AC的解析式为y=x+2,直线EF的解析式为y=x+,解方程组 =+,=+,消去y,得方程8x2+32x+33=0,=-240)的图象经过线段OA的端点A,O为原点,作ABx轴于点B,点B的坐标为(3,0),tanAOB=.(1)求k的值;(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数y=(x0)的图象恰好经过DC上一点E,且DEEC=31,求直线AE的函数表达式;(3)若直线AE与x轴交于点N,与y轴交于点M,请你探索线段AM与线段NE的大小关系,写出你的结论并说明理由.解:(1)在RtOAB中
30、,OB=3,tanAOB=,=,AB=4,点A的坐标为(3,4),k=xy=12.(2)DC由AB平移得到,DE：EC=3：1,点E的纵坐标为1.又点E在双曲线y=上,点E的坐标为(12,1),设直线AE的函数表达式为y=kx+b,则 =+,=+,解得 =,=,直线AE的函数表达式为y=-x+5.(3)结论:AM=NE.理由:在表达式y=-x+5中,令y=0可得x=15,令x=0可得y=5,点M(0,5),N(15,0).如图,延长DA交y轴于点F,则AFOM,且AF=3,OF=4,MF=OM-OF=1,由勾股定理,得AM=+=+=.CN=15-12=3,EC=1,根据勾股定理可得EN=+=+=,AM=NE.
