1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：0，2.
2、3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【知识拓展】1.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直2.异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1
3、)如果两个不重合的平面，有一条公共直线 a，就说平面，相交，并记作 a.()(2)两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于过 A 点的任意一条直线()(3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()1下列命题正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0B1C2D3答案 C解析 中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确2(2016浙江)
4、已知互相垂直的平面，交于直线 l.若直线 m，n 满足 m，n，则()AmlBmnCnlDmn答案 C解析 由已知，l，l，又n，nl，C 正确3已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b()高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线答案 C解析 由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 bc，则 ab，与已知 a、b 为异面直线相矛盾4.(教材改编)如图所示，已知在长方体 ABCDEFGH 中，AB2 3，AD2 3，AE2，则BC 和 EG 所
5、成角的大小是_，AE 和 BG 所成角的大小是_答案 45 60解析 BC 与 EG 所成的角等于 EG 与 FG 所成的角即EGF，tanEGFEFFG2 32 31，EGF45，AE 与 BG 所成的角等于 BF 与 BG 所成的角即GBF，tanGBFGFBF2 32 3，GBF60.题型一 平面基本性质的应用例 1(1)(2016山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相
6、交，那么直线 a和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A.(2)已知，空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD上的点，且 CG13BC，CH13DC.求证：高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-E、F、G、H 四点共面；三直线 FH、EG、AC 共点证明 连接 EF、GH，如图所示，E、F 分别是 AB、AD 的中点，EFBD.又CG13BC，CH13DC，GHBD，EFGH，E、F、G、H 四点共面易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面，设 FHACM，M平面 EFHG，M平面 ABC.又平面 EFHG平面 ABC
7、EG，MEG，FH、EG、AC 共点思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-(1)E、
8、C、D1、F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点证明(1)如图，连接 EF，CD1，A1B.E，F 分别是 AB，AA1 的中点，EFA1B.又 A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F 四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，如图所示则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA.CE，D1F，DA 三线共点题型二 判断空间两直线的位置关系例 2(1)(2015广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平
9、面 的交线，则下列命题正确的是()Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一条相交高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-(2)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是()AMN 与 CC1 垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1 平行(3)在图中，G、N、M、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案
10、(1)D(2)D(3)解析(1)若 l 与 l1，l2 都不相交，则 ll1，ll2，l1l2，这与 l1 和 l2 异面矛盾，l 至少与l1，l2 中的一条相交(2)连接 B1C，B1D1，如图所示，则点 M 是 B1C 的中点，MN 是B1CD1 的中位线，MNB1D1，又 BDB1D1，MNBD.CC1B1D1，ACB1D1，MNCC1，MNAC.又A1B1 与 B1D1 相交，MN 与 A1B1 不平行，故选 D.(3)图中，直线 GHMN；图中，G、H、N 三点共面，但 M平面 GHN，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接
11、 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G、M、N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以图中 GH 与 MN 异面思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决(1)已知 a，b，c 为三条不重合的直线，有下列结论：若 ab，ac，则 bc；若 ab，ac，则 bc；若 ab，bc，则 ac.其中正确的个数为()A0B1C2D3(2)(2016南昌一模)已知 a、b、c 是相异
12、直线，、是相异平面，则下列命题中正确的是()Aa 与 b 异面，b 与 c 异面a 与 c 异面Ba 与 b 相交，b 与 c 相交a 与 c 相交C，Da，b，与 相交a 与 b 相交答案(1)B(2)C解析(1)在空间中，若 ab，ac，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立(2)如图(1)，在正方体中，a、b、c 是三条棱所在直线，满足 a 与 b 异面，b 与 c 异面，但 acA，故 A 错误；在图(2)的正方体中，满足 a 与 b 相交，b 与 c 相交，但 a 与 c 不相交，故 B错误；如图(3)，c，ac，则 a 与 b 不相交，故 D 错误题型三 求
13、两条异面直线所成的角例 3(2016重庆模拟)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线 AP 与 BD 所成的角为_高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-答案 3解析 如图，将原图补成正方体 ABCDQGHP，连接 GP，则 GPBD，所以APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角，在AGP 中，AGGPAP，所以APG3.引申探究在本例条件下，若 E，F，M 分别是 AB，BC，PQ 的中点，异面直线 EM 与 AF 所成的角为，求 cos 的值解 设 N 为 BF 的中点，连接 EN，MN，则MEN 是异面直线 EM 与 AF
14、 所成的角或其补角不妨设正方形 ABCD 和 ADPQ 的边长为 4，则 EN 5，EM2 6，MN 33.在MEN 中，由余弦定理得cosMENEM2EN2MN22EMEN 2453322 6 5 130 3030.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-即 cos 3030.思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角(2017杭州第一次质检)如图，ABC 是等
15、腰直角三角形，ABAC，BCD90，且 BC 3CD3.将ABC 沿 BC 边翻折，设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M，若点 M 在BCD 的内部(含边界)，则点 M 的轨迹的最大长度等于_；在翻折过程中，当点 M 位于线段 BD 上时，直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值等于_答案 32 66解析 当平面 ABC平面 BCD 时，点 A 在平面 BCD 上的射影为 BC 的中点 M，当点 A 在平面 BCD 上的射影 M 在 BD 上时，因为 ABAC，所以 BMMC，因为 BC 3CD3，所以DBC30，所以由BCD90得 BMMD，点 M 的轨迹的最大长度等于12CD32，将其
16、补为四棱锥，所以 AB3 22，AE AM2EM23 22，又因为EBA 为直线 AB 和CD 所成的角，所以 cosEBAAB2BE2AE22ABBE 66.1高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-8构造模型判断空间线面位置关系典例 已知 m，n 是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m，n，mn，则；若 m，n，mn，则；若 m，n，mn，则；若 m，n，则 mn.其中所有正确的命题是_(填序号)思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而
17、导致解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面、互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由 m，可得 m，因为 n，所以过n 作平面，且 g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所以 mn，故正确答案 1设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，a，b，则“”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a，b，则由，bb，高
18、考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-又 a，所以 ab；若 ab，a，b，则 b 或 b 或 b，此时 或 与 相交，所以“”是“ab”的充分不必要条件，故选 A.2(2016福州质检)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E、F 分别为棱 AA1、CC1 的中点，则在空间中与直线 A1B1、EF、BC 都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条答案 D解析 在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1 与 M 确定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N，当 M 的位置不同时确定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N，而直线 MN 与 A1B
19、1、EF、BC 分别有交点 P、M、N，如图，故有无数条直线与直线 A1B1、EF、BC 都相交3对于任意的直线 l 与平面，在平面 内必有直线 m，使 m 与 l()A平行B相交C垂直D互为异面直线答案 C解析 不论 l，l，还是 l 与 相交，内都有直线 m 使得 ml.4在四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 EF 与 HG 交于点 M，则()AM 一定在直线 AC 上BM 一定在直线 BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在 BD 上DM 既不在 AC 上，也不在 BD 上答案 A解析 由于 EFHGM，且 EF平面 ABC，HG平面 A
20、CD，所以点 M 为平面 ABC 与平面 ACD 的一个公共点，而这两个平面的交线为高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-AC，所以点 M 一定在直线 AC 上，故选 A.5设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1，2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱异面，则 a 的取值范围是()A(0，2)B(0，3)C(1，2)D(1，3)答案 A解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于 2.故选 A.6(2016宁波二模)下列命题中，正确的是()A若 a，b 是两条直线，是两个平面，且 a，b，则 a，b 是异面直线B若 a，b 是两条直
21、线，且 ab，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线 a平面，点 P，则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条答案 D解析 对于 A，当，a，b 分别为第三个平面 与，的交线时，由面面平行的性质可知ab，故 A 错误对于 B，设 a，b 确定的平面为，显然 a，故 B 错误对于 C，当 a 时，直线 a 与平面 内的无数条直线都平行，故 C 错误易知 D 正确故选D.7(2016昆明模拟)若两条异面直线所成的角为 60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直
22、线对”共有_对答案 24解析 如图，若要出现所成角为 60的异面直线，则直线需为面对角线，以 AC 为例，与之构成黄金异面直高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-线对的直线有 4 条，分别是 AB，BC，AD，CD，正方形的面对角线有 12 条，所以所求的“黄金异面直线对”共有124224 对(每一对被计算两次，所以要除以 2)8(2016南昌高三期末)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为直角三角形ACB90，AC6，BCCC1 2，P 是 BC1 上一动点，则 CPPA1 的最小值为_答案 5 2解析 连接 A1B，将A1BC1 与CBC1 同时展开形成一个平
23、面四边形 A1BCC1，则此时对角线CPPA1A1C 达到最小，在等腰直角三角形BCC1 中，BC12，CC1B45，在A1BC1中，A1B 402 10，A1C16，BC12，A1C21BC21A1B2，即A1C1B90.对于展开形成的四边形 A1BCC1，在A1C1C 中，C1C 2，A1C16，A1C1C135，由余弦定理有，CPPA1A1C23612 2cos135 505 2.9.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与
24、 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案 解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN.10(2015浙江)如图，三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_答案 78解析 如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK.M 为 AD 的中点，MKAN，KMC 为异面直线 AN，CM 所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N
25、 为 BC 的中点，由勾股定理求得 ANDNCM2 2，MK 2.在 RtCKN 中，CK 2212 3.在CKM 中，由余弦定理，得cosKMCCM2MK2CK22CMMK 222 22 322 22 278.*11.(2016郑州质量预测)如图，矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是_高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-15-BM 是定值；点 M 在某个球面上运动；存在某个位置，使 DEA1C；存在某个位置，使 MB平面 A1DE.答案
26、解析 取 DC 中点 F，连接 MF，BF，MFA1D 且 MF12A1D，FBED 且 FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得 MB2MF2FB22MFFBcosMFB 是定值，所以 M 是在以 B 为圆心，MB为半径的球上，可得正确；由 MFA1D 与 FBED 可得平面 MBF平面 A1DE，可得正确；A1C 在平面 ABCD 中的投影与 AC 重合，AC 与 DE 不垂直，可得不正确12.如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，A90，BC 2，DAAC，DAAB，若 DA1，且 E 为 DA 的中点求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值解 如图所示，取 AC 的中点 F，连接
27、 EF，BF，在ACD 中，E、F 分别是 AD、AC 的中点，EFCD.BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角在 RtEAB 中，ABAC1，AE12AD12，BE 52.在 RtEAF 中，AF12AC12，AE12，EF 22.在 RtBAF 中，AB1，AF12，BF 52.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-16-在等腰三角形 EBF 中，cosFEB12EFBE 2452 1010.异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 1010.*13.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，ACBDP，A1C1E
28、FQ.求证：(1)D、B、F、E 四点共面；(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线证明(1)如图所示，因为 EF 是D1B1C1 的中位线，所以 EFB1D1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，B1D1BD，所以 EFBD.所以 EF，BD 确定一个平面即 D、B、F、E 四点共面(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为，又设平面 BDEF 为.因为 QA1C1，所以 Q.又 QEF，所以 Q.则 Q 是 与 的公共点，同理，P 点也是 与 的公共点所以 PQ.又 A1CR，所以 RA1C，则 R 且 R.则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线
