1、2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为（）A2B4，6C1，3，5D4，6，7，82如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为，则复数+2z2=（）=A2+iB2+3iC1+2iD13下列各组表示同一函数的是（）Ay=与y=（）2By=lgx2与y=2lgxCy=1+与y=1+Dy=x21（xR）与y=x21（xN）4函数f（x）=|x5|
2、+2x1的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5幂函数y=f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A偶函数，且在（0，+）上是增函数B偶函数，且在（0，+）上是减函数C奇函数，且在（0，+）是减函数D非奇非偶函数，且在（0，+）上是增函数6给出如下四个命题：命题“关于x的不等式0的解集为x|x1或x1”为真命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”；“m”是“方程x2+x+m=0有实数解”的必要不充分条件其中假命题的个数是（）A4B3C2D17已知复数，则z2016=（）A1B1Ci
3、Di8已知a=212，b=（）0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系（）AabcBbacCcabDacb9设命题p：函数f（x）=e2x3在R上为增函数；命题q：x0R，x02x0+20则下列命题中真命题是（）ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）10函数f（x）=x2ln|x|的大致图象为（）ABCD11函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2x），且（x1）f（x）0，f（2）=0，则xf（x）0的解集为（）A（0，2）B（0，1）（2，+）C（，0）（0，2）D（，0）（2，+）12函数f（x）=lnxxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（，1B（，1）C
4、1，+）D（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13函数f（x）=+的定义域为14已知函数，若f（x）为奇函数，则a=15设函数 f （x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则ff（）=16已知函数f（x）=lnxax2bx，若x=1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为cos（）=a，且点A在直线上（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（为参数），试判断
5、直线与圆的位置关系18设函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与直线 y=3x+8相切于点P（2，2）（1）求a，b的值；（2）求函数 f （x）的极值19已知二次函数f（x）=ax24x+c，且 f （0）=5，f （x）0的解集是（1，5）（1）求 f （x）的解析式；（2）求函数 f （x）在x0，3上的值域；（3）设g（x）=f （x）mx，且g（x）在区间2，2上是单调函数，求实数m的取值范围20在平面直角坐标系中，直线l经过点P（1，1），倾斜角=，现以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系若曲线C 的极坐标方程为sin2=8cos（1）写出直线l 的
6、参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于 A、B两点，求|PA|PB|的值21已知函数f（x）=（a+）lnx+x（a1）（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a3，+）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1），Q（x2，f （x2 ），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x22015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集
7、合A=1，2，3，5，B=2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为（）A2B4，6C1，3，5D4，6，7，8【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）B，根据集合的运算求解即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=1，2，3，5，B=2，4，6，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）B，CUA=4，6，7，8，（CUA）B=4，6故选B2如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为，则复数+2z2=（）=A2+iB2+3iC1+2iD1【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由z1，z2求出然后代入复数+2z2计
8、算得答案【解答】解：z1=2i，z2=i，则复数+2z2=2+i+2i=2+3i故选：B3下列各组表示同一函数的是（）Ay=与y=（）2By=lgx2与y=2lgxCy=1+与y=1+Dy=x21（xR）与y=x21（xN）【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数【解答】解：Ay=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为x|x0，定义域不同，不能表示同一函数By=lgx2，的定义域为x|x0，y=2lgx的定义域为x|x0，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数C两个函数的定义域都为x|x0，对应法则相同，能表示同一函数
9、D两个函数的定义域不同，不能表示同一函数故选：C4函数f（x）=|x5|+2x1的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理【分析】本题可求出相应区间端点的值，由连续函数根的存在性定理，端点值异号时，该区间内有根，得本题的解【解答】解：函数f（x）=|x5|+2x1，f（0）=|05|+21=0，f（1）=|15|+20=30，f（2）=|25|+21=10，f（3）=|35|+22=20，f（4）=|45|+23=70f（2）f（3）0，函数f（x）=|x5|+2x1的零点所在的区间是（2，3）故选C5幂函数y=f（x）经过点（3，），则f
10、（x）是（）A偶函数，且在（0，+）上是增函数B偶函数，且在（0，+）上是减函数C奇函数，且在（0，+）是减函数D非奇非偶函数，且在（0，+）上是增函数【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可【解答】解：设幂函数的解析式为：y=x，将（3，）代入解析式得：3=，解得=，y=，故选：D6给出如下四个命题：命题“关于x的不等式0的解集为x|x1或x1”为真命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”；“m”是“方程x2+x+m=0有实数解”的必要不充分
11、条件其中假命题的个数是（）A4B3C2D1【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据分式不等式的解法进行求解判断，根据否命题的定义进行判断，根据全称命题的否定是特称命题进行判断，根据一元二次方程与判别式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：命题“关于x的不等式0的解集为x|1x1”，故错误；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；故正确，命题“xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”；故错误，若方程x2+x+m=0有实数解，则判别式=14m0，则m，即“m”是“方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件，故错误，故错误；故选：B7已知复数，则z2
12、016=（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z2016可求【解答】解：由=，则z2016=（i）2016=（i）21008=1故选：A8已知a=212，b=（）0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系（）AabcBbacCcabDacb【考点】不等关系与不等式【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出【解答】解：1b=（）0.8=20.8212=a，0c=2log52=log541，abc故选：A9设命题p：函数f（x）=e2x3在R上为增函数；命题q：x0R，x02x0+20则下列命题中真命题是（）ApqB（p）qC
13、p（q）D（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】利用整式函数与二次函数的单调性先判定命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论【解答】解：命题p：函数f（x）=e2x3在R上为增函数，是真命题；命题q：xR，x2x+2=0，因此q是假命题则下列命题中真命题是p（q）故选：C10函数f（x）=x2ln|x|的大致图象为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由函数的表达式确定函数的性质，从而利用数形结合确定函数的图象的形状【解答】解：f（x）=x2ln|x|=f（x），函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，又f（x）的定义域为（，0）（0，+），排除C，
14、又f（x）+，故排除B，故选：D11函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2x），且（x1）f（x）0，f（2）=0，则xf（x）0的解集为（）A（0，2）B（0，1）（2，+）C（，0）（0，2）D（，0）（2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】通过讨论x的范围，求出f（x）的单调性，根据f（x）=f（2x），求出f（x）的对称性，从而求出不等式的解集即可【解答】解：（x1）f（x）0，当x1时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减，又f（x）=f（2x），f（x+1）=f（1x），对称轴x=1，而f（2）=0，x（，0），f
15、（x）0，x（0，2），f（x）0，x（2，+），f（x）0，xf（x）0的解集是（，0）（0，2），故选：C12函数f（x）=lnxxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（，1B（，1）C1，+）D（1，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】函数f（x）=lnxxa有两个不同的零点可化为y=lnxx与y=a有两个不同的交点，从而作图解得【解答】解：函数f（x）=lnxxa有两个不同的零点可化为y=lnxx与y=a有两个不同的交点，作y=lnxx与y=a的图象如下，则实数a的取值范围是（，1）；故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13函数f（x）=+的定义域为x|
16、0x2且x1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，即，得0x2且x1，即函数的定义域为x|0x2且x1，故答案为：x|0x2且x114已知函数，若f（x）为奇函数，则a=【考点】函数奇偶性的性质【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值【解答】解：函数若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=故答案为15设函数 f （x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则ff（）=【考点】分段函数的应用；函数的周期性【分析】利用函数的周期以及分段函数，由里及外
17、逐步求解即可【解答】解：函数 f （x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，f（）=f（）=4+1=0，ff（）=f（0）=故答案为：16已知函数f（x）=lnxax2bx，若x=1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是a1【考点】利用导数研究函数的极值【分析】f（x）的定义域为（0，+），f（x）=axb，由f（1）=0，得b=1a所以f（x）=，由此能求出a的取值范围【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）=axb，由f（1）=0，得b=1a所以f（x）=若a0，由f（x）=0，得x=1当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递增；当x1时，f（x）
18、0，此时f（x）单调递减所以x=1是f（x）的极大值点若a0，由f（x）=0，得x=1，或x=因为x=1是f（x）的极大值点，所以1，解得1a0综合：a的取值范围是a1故答案为：a1三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为cos（）=a，且点A在直线上（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标
19、的关系，即可得到直角坐标方程；（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系【解答】解：（1）由点A（，）在直线cos（）=a上，可得a=cos0=，所以直线的方程可化为cos+sin=2，从而直线的直角坐标方程为x+y2=0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x1）2+y2=1，所以圆心为（1，0），半径r=1，圆心到直线的距离d=1，所以直线与圆相交18设函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与直线 y=3x+8相切于点P（2，2）（1）求a，b的值；（2）求函数 f （x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方
20、程【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f（2），由f（2）=3，且f（2）=2联立方程组求得a，b的值，则函数解析式可求；（2）分别由导函数大于0和小于0求得原函数的增区间及减区间，即可求出函数 f （x）的极值【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与直线y=3x+8相切于点P（2，2），f（2）=3，f（2）=2f（x）=3x2+2ax+b，解得（2）由（1）可知f（x）=x36x2+9x，f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），令f（x）=0，得x=1或x=3令f（x）0，得x1或x3； 令f（x）0，得1x3f（x）的单调递增区间为（，1），（3，+）；单调递
21、减区间为（1，3）当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=019已知二次函数f（x）=ax24x+c，且 f （0）=5，f （x）0的解集是（1，5）（1）求 f （x）的解析式；（2）求函数 f （x）在x0，3上的值域；（3）设g（x）=f （x）mx，且g（x）在区间2，2上是单调函数，求实数m的取值范围【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法【分析】（1）根据不等式的解集和方程的关系得出方程的跟，利用韦达定理求出函数的表达式；（2）根据二次函数的图象和性质求解即可；（3）根据题意可知对称轴不在区间内即可【解答】解：（1）由f （
22、x）0，得：ax24x+c0，不等式的解集是（1，5），故方程ax24x+c=0的两根是x=1或x=5，所以a=1，c=所以f（x）=x24x5，（2）由（1）知，f（x）=x24x5，x0，3，f（x）在0，2上为减函数，在2，3上为增函数当x=2时，f（x）取得最小值为f（2）=9而当x=0时，f（0）=5，当x=3时，f（3）=8f（x）在0，3上取得最大值为5函数f（x）在x0，3上的值域为9，5（3）g（x）=x2（m+4）x5，依题意有，故m8或m0所以，m的取值范围是（，80，+）20在平面直角坐标系中，直线l经过点P（1，1），倾斜角=，现以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x
23、 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系若曲线C 的极坐标方程为sin2=8cos（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于 A、B两点，求|PA|PB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）由直线l经过点P（1，1），倾斜角=，即可得出直线的参数方程曲线C 的极坐标方程为sin2=8cos，即2sin2=8cos把x=cos，y=sin，代入即可得出直角坐标方程（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入y2=8x中，可得得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，由t的几何意义可知，|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|【解答】
24、解：（1）直线l的参数方程为（t为参数）；曲线C的直角坐标方程为y2=8x（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入y2=8x中，得整理得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则由t的几何意义可知，|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=2821已知函数f（x）=（a+）lnx+x（a1）（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a3，+）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1），Q（x2，f （x2 ），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）
25、，当x（0，1）时，解不等式f（x）0，f（x）0即可（2）由题意可得，当a3，+）时，f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2），由此可得a+=，从而，只要求出在3，+）的最大值即可【解答】解：（1）由已知，得x0， =由f（x）=0，得因为a1，所以0，且a所以在区间（0，）上，f（x）0；在区间（，1）上，f（x）0故f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增证明：（2）由题意可得，当a3，+）时，f（x1）=f（x2）（x1，x20，且x1x2）即=，所以a+=，a3，+）因为x1，x20，且x1x2，所以恒成立，所以，又x1+x20，所以，整理得，令g（a）=，因为a3，+），所以a+单调递增，g（a）单调递减，所以g（a）在3，+）上的最大值为g（3）=，所以2016年8月26日
