1、第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系学 习 目 标核 心 素 养 1掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法(重点)2熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系(重点、难点)1通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养2借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养自 主 预 习 探 新 知 1直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线的非零向量，一条直线的方向向量有个(2)平面的法向量的定义直线 l，取直线 l 的a，则 a 叫做平面 的法向量平行或共
2、线无数方向向量思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？提示 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量 2空间中平行关系的向量表示 线线平行设两条不重合的直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则 lm_ 线面平行设 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)，的法向量为 u(a2，b2，c2)，则 l0 面面平行设，的法向量分别为 u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则 ab(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)aua1a2b1b2c1c20uv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)1若A(1,0,1)，
3、B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3)D(3,2,1)A AB(2,4,6)2(1,2,3)2若平面，的一个法向量分别为m16，13，1，n12，1，3，则()ABC与相交但不垂直D或与重合D n3m，mn，或与重合3已知 u，v 分别是平面，的法向量，则下列条件能使 与 垂直的是()Au(2,2,5)，v(6，4,4)Bu(1,2，2)，v(2，4,4)Cu(2，3,5)，v(3,1，4)Du(2,1,4)，v(6,3,3)A 对于 A，因为 uv0，uv，对于 B，uv，或 与 重合 对于 C，u 与 v 不垂直，也不平行，
4、与 相交 对于 D，u 与 v 不垂直，也不平行，与 相交，故选 A4若直线l的方向向量a(2,2，1)，平面的法向量(6,8,4)，则直线l与平面的位置关系是_l或l a121640，a，l或l合 作 探 究 释 疑 难 利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系【例 1】根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)不重合的直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 a(2,3，1)，b(6，9,3)；(2)直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 a(2,1,4)，b(6,3,3)；(3)平面 与 的法向量分别是 u(1，1,2)，v3，2，12；(4)平面 与 的法向量分别是 u(2
5、，3,4)，v(4，2，1)；(5)直线 l 的方向向量、平面 的法向量分别是 a(0，8，12)，u(0,2，3)解(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，a13b，ab，即l1l2(2)a(2,1,4)，b(6,3,3)，ab0且akb(kR)，a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面(3)u(1，1,2)，v3，2，12，uv3210，uv，即 (4)u(2，3,4)，v(4，2,1)，uv0 且 uk v(kR)，u 与 v 既不共线也不垂直，即 和 相交但不垂直(5)a(0，8,12)，u(0,2，3)，u14a，ua，即 l1不重合的两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则
6、两直线相交或异面.2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.3两个平面的法向量共线垂直时，两平面平行或重合垂直；否则两平面相交但不垂直.跟进训练1设平面 的法向量为(1,3，2)，平面 的法向量为(2，6，k)，若，则 k_4，(1,3，2)(2，6，k)，21，k2，12，k4求平面的法向量 【例 2】如图，已知 ABCD 是直角梯形，ABC90，SA平面 ABCD，SAABBC1，AD12，试建立适当的坐标系(1)求平面 ABCD 的一个法向量；(2)求平面 SAB 的一个法向量；(3)求平
7、面 SCD 的一个法向量解 以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1，1,0)，D12，0，0，S(0,0,1)(1)SA平面 ABCD，AS(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量(2)ADAB，ADSA，ABSAA，AD平面 SAB，AD12，0，0 是平面 SAB 的一个法向量(3)在平面 SCD 中，DC 12，1，0，SC(1,1，1)设平面 SCD 的法向量是 n(x，y，z)，则 nDC，nSC，所以nDC 0，nSC0，得方程组12xy0，xyz0，x2y，zy，
8、令 y1，得 x2，z1，平面 SCD 的一个法向量为 n(2，1,1)1利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为 n(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC(3)列方程组：由nAB0，nAC0，列出方程组(4)解方程组：nAB0，nAC0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量2求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求 n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意 0：提前假定法向量 n(x，y，z)的
9、某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为 0跟进训练2正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面 BDD1B1 的一个法向量；(2)平面 BDEF 的一个法向量解 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，则 D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)连接 AC(图略)，因为 AC平面 BDD1B1，所以AC(2,2,0)为平面 BDD1B1 的一个法向量(2)DB(2,2,0)，DE(1,0,2)设平面 BDEF 的一个法向量为 n(x，y，
10、z)nDB 0，nDE 0，2x2y0，x2z0，yx，z12x.令 x2，得 y2，z1 n(2，2，1)即为平面 BDEF 的一个法向量 利用空间向量证明平行关系 探究问题在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示 可设几何体的棱长为 1 或 a，再求点的坐标【例 3】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 CC1，B1C1的中点求证：MN平面 A1BD思路探究：证明 法一：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M
11、0，1，12，N12，1，1，于是DA1(1,0,1)，DB(1,1,0)，MN 12，0，12 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则nDA1，nDB，即nDA1 xz0，nDB xy0，取 x1，则 y1，z1，平面 A1BD 的一个法向量为 n(1，1，1)又MN n12，0，12(1，1，1)0，MN nMN平面A1BD 法二：MN C1N C1M 12C1B1 12C1C 12(D1A1 D1D)12DA1，MN DA1，MN平面 A1BD 法三：MN C1N C1M 12C1B1 12C1C 12DA 12A1A 12DB BA12A1B BA 12DB 12A1B 即
12、MN 可用A1B 与DB 线性表示，故MN 与A1B，DB 是共面向量，故MN平面 A1BD1本例中条件不变，试证明平面 A1BD平面 CB1D1证明 由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则CD1(0，1,1)，D1B1(1,1,0)，设平面 CB1D1 的法向量为 m(x1，y1，z1)，则mCD1mD1B1，即mCD1 y1z10，mD1B1 x1y10，令 y11，可得平面 CB1D1 的一个法向量为 m(1,1,1)，又平面 A1BD 的一个法向量为 n(1，1，1)所以 mn，所以 mn，故平面 A1BD平面 CB1D1 2若本例换为：在如图所示的
13、多面体中，EF平面 AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G 是 BC 的中点，求证：AB平面 DEG证明 EF平面 AEB，AE平面 AEB，BE平面 AEB，EFAE，EFBE 又AEEB，EB，EF，EA 两两垂直 以点 E 为坐标原点，EB，EF，EA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，ED(0,2,2)，EG(2,2,0)，AB(2,0，2)设平面 DEG 的法向量为 n(x，y，z)，则ED n0，EG n
14、0，即2y2z0，2x2y0，令 y1，得 z1，x1，则 n(1,1，1)，ABn2020，即ABn AB平面 DEG，AB平面 DEG1向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向量是 u，则要证明 l，只需证明 au，即 au0(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要
15、证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可2证明面面平行的方法设平面 的法向量为，平面 的法向量为 v，则 v课 堂 小 结 提 素 养 1利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题2证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明1若A0，2，198，B1，1，58，C2，1，58 是平面内的三点，设平面的法
16、向量a(x，y，z)，则xyz()A23(4)B111C12 11D324A AB 1，3，74，BC(3,2,0)，因为平面的法向量为a(x，y，z)，所以aABx3y74z0，aBC3x2y0，取y3，则x2，z4 所以xyz23(4)2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)A 逐一验证法，对于选项A，MP(1,4,1)，所以MP n61260，所以MP n，所以点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内3若直线l的方向向量为a(3，1,4)，平面的法向量
17、为n12，32，34，则直线l与平面的位置关系是_l或l 因为an(3，1,4)12，32，34 0，所以an，所以l或l4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1平面ACD1证明 法一：以D为原点，DA，DC，DD1 分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，O1(1,1,2)，AD1(2,0,2)，CD1(0，2,2)，BO1(1，1,2)，BO1 12AD1 12CD1，BO1 与AD1，CD1 共面 又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1 法二：在法一建立的空间直角坐标系下，取AC的中点O，连接D1O，则O(1,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，O1(1,1,2)，D1O(1,1，2)又BO1(1，1,2)，D1O BO1，D1O BO1又D1O与BO1不重合，D1OBO1 又BO1平面ACD1，D1O平面ACD1，BO1平面ACD1点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
