1、江西省赣州市崇义县崇义中学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和特殊值法来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，若，由，可得，A选项错误；对于B选项，取，则满足，但，B选项错误；对于C选项，若，由不等式的性质可得，C选项正确；对于D选项，若，则，D选项错误.故选C.【点睛】本题考查利用不等式的性质来判断不等式的正误，同时也可以利用特殊值法等一些基本方法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.2.已知等比数列中，是方程
2、的两根，则的值为（ ）A. 64B. C. 256D. 【答案】A【解析】分析】利用韦达定理和等比数列的性质，结合等比数列通项公式求出，再利用等比数列的性质即可求解.【详解】因为，是方程的两根，所以由韦达定理可得，,即，所以，由等比数列的性质知,，因为，所以，所以.故选:A【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式；考查运算求解能力；利用韦达定理和等比数列的性质正确求出的值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3.已知向量，且，则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由结合数量积的坐标公式和模长公式，可得到，再利用公式求与的夹角.【详解】向量， 所以，由，即，所以所
3、以又与的夹角在内,所以与的夹角为.故选：B【点睛】本题考查利用向量的数量积的坐标公式求向量的夹角，注意向量夹角的范围，属于基础题.4.已知数列中，又数列是等差数列，则等于（ ）A. 0B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据条件得等差数列公差以及通项公式，代入解得.【详解】设等差数列公差为，则，从而，选B.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题.5.关于x的不等式（）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把原不等式变形为与积小于0，根据小于0，在不等式两边同时除以，不等号方向改变，化为，易得与的大小，结合不等号方向，可以写出原不等式的解
4、集，进而做出正确的选择.【详解】原不等式化为，因为，所以进一步化为，因为，所以，所以的解集为或，即原不等式的解集为，故选：C.【点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的求解问题，在解题的过程中，注意利用不等式的性质对不等式进行等价变形，再者就是根据题意比较两个边界值的大小，属于简单题目.6.设向量满足，且，则向量在向量上的投影的数量为( )A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据利用垂直数量积为0求得,再根据投影的公式代入求解即可.详解】,.,向量在向量上的投影的数量为.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运用与夹角的计算,属于中档题.7.已知中，角，的对边分别为，若满足
5、，的三角形有两解，则边长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由有两解时，可得，代入数据，即可求解，得到答案【详解】由题意得，当有两解时，则满足，即，解得，故选B【点睛】本题主要考查了解三角形一题多解的问题，其中解答中熟记三角形两解的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8. 中,若 且,则的形状是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】【详解】由,得,所以得,所以.所以,所以,即,所以,所以,即,所以,即三角形为等腰直角三角形,选.点睛：判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关
6、系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论9.等差数列的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（ ）A. 23B. 25C. 23或24D. 23或25【答案】D【解析】【分析】先依据条件知等差数列的前25项为正数，从第26项起各项都为负数，所以可以判断的前23项为正数，为负数，为正数，从第27项起各项都为负数，而，故的前项和取得最大值时，的值为23或25【详解】，等差数列公差，且则，且，由，知的前23项为正数，为负数，为正数，从第27项起各项都为负数，而与是绝对值相等，符号相反，相加为零，之后越来越小，所以
7、数列的前项和取得最大值时,的值为，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求数列前项和取最值的判断方法10.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程和二次函数关系，结合零点存在定理即可得关于的不等式组，解不等式组即可确定的取值范围.【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间（3，4）内，只需，即，解不等式组可得，即的取值范围为，故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数零点存在定理的简单应用，属于基础题.11.已知非零向量，满足，且，则的形状是A. 三边均不相等的三角形
8、B. 直角三角形C. 等腰（非等边）三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状【详解】解：，分别为单位向量，的角平分线与垂直，三角形为等边三角形故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断考查了学生综合分析能力，属于中档题12.在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.【详解】因为，故可得，又，故可得.因为，故可得整理得，则.
9、故可得，因为，故可得.则故可得.故选：C.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的范围问题，涉及正弦的和角公式，属综合困难题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】通过“移项，通分”等步骤，将不等式等价转化为一元二次不等式，注意分母不为0，解出即可.【详解】，即，等价于，解得或即不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，等价转化为一元二次不等式是解题的关键，考查转化思想，属于中档题14.如图，在中，是边上一点，则【答案】【解析】【详解】由图及题意得，=()()=+=.15.如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的
10、正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为_m【答案】60【解析】【分析】由已知可以求出、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.【详解】由题意可知：，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.16.下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为（i
11、，jN*)，则_.【答案】【解析】【分析】先计算第一列形成的数列，再计算第20行形成的数列，得到答案.【详解】设第一列形成的数列为，则是首项为，公差为的等差数列，故，.设第20行形成的数列为，是首项为，公比为的等比数列，故.即.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.三、解答题（共70分）17.已知等差数列的前项和为，若公差，且成等比数列（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意建立方程组求解即可（2），然后即可求出前项和【详解】（1）由题意可得，即，又因为，所以，所以（2）因为，所以【
12、点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法18.已知中，内角所对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若， 求的面积S.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角的三角函数值，进而求解；（2）由余弦定理求出，即可求出面积.【详解】解:(1)由可得:.可得:.可得又由得又由得.(2)由余弦定理及已知得.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题.19.如图，在中，点在边上，（）求边长；（）若的面积是，求的值【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（）在中利用余弦定理可以
13、求出（）由（）得为等边三角形，其边的高线为的高线，根据已知的面积可以得到的长，根据余弦定理可以得到的长，再利用正弦定理可以求出【详解】（）在中，设，则由余弦定理得：即：，解之得：即边的长为2（）由（）得为等边三角形，作于，则，故 ，在中，由余弦定理得：在中由正弦定理得： ，【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.20.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10
14、万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）年销售量（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）利用年利润=（出厂价-投入成本）年销售量列出表达式即可，要注意根据实际意义注明函数的定义域；（2）通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围试题解析：（1）由题意得：，整理得：，
15、（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须，即，解得，所以投入成本增加的比例应在范围内考点：1函数模型的应用；2一元二次不等式的解法21.设数列前项和为, 满足 （1）求数列的通项公式；（2）令 求数列的前项和 ；（3）若不等式对任意的 恒成立，求实数 的取值范围【答案】（1）;（2）;（3）【解析】试题分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（2）bn=nan=2n4n1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出（3）不等式的nN*恒成立，化为a ，利用二次函数的单调性即可得出试题解析：解：（1） 两式相减，得 .所以，又，即是首项为，公比是的等比数列.所以 .
16、（2） - ,得 故 （3）由题意，再结合（2），知 即 .从而设 ，.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.对于函数，若存在,使得成立，则称为的不动点，已知函数（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有不动点，求的取值范围；（3）在（2）条件下，若图象上的两点的横坐标是函数的不动点，且的中点在直线上，求的最小值.【答
17、案】（1）-1或3；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由已知可得的不动点，为方程的解，将代入，解方程，即可得出结论；（2）由条件可得，将问题转化对于任意的实数，方程有实数解，利用一元二次方程有实数解，进而得到关于一元二次不等式恒成立，可求出的取值范围；（3）的中点在直线上，利用韦达定理结合不动点定义，将中点坐标用表示，代入直线方程，表示成的函数，由的范围，利用函数思想求出的最小值.【详解】（1）当，时，由或当，时，求函数的不动点为-1或3； （2）若对任意实数，函数恒有不动点，即方程时恒有实数解，上恒成立，解得，所以的取值范围；（3）设的不动点为，则，且，所以，的中点坐标为，即为，代入得，当时，取得最小值为.【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，将问题转化为考查一元二次方程、一元二次不等式、二次函数，考查函数方程思想，属于较难题.
