1、第3章 数系的扩充与复数的引入31 数系的扩充一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议数系的扩充了解在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系复数的概念理解学习复数的相关概念；体会复数abi是实数、虚数和纯虚数的条件 复数的相等理解理解两个复数相等的充要条件二、预习指导1预习目标了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件2预习提纲(1)回忆、归纳数系扩充的过程，体会实际需要与数学内部的矛盾对数系扩充的作用，感受数与现实世界的联系(2)对引入的新数有哪两
2、项规定?_ ；_ (3)a=0是复数z=ab为纯虚数的充分条件吗?(4)两个复数相等的充要条件是_(5)阅读课本第103页至第105页内容，并完成课后练习(6)结合课本第104页的例1，学习复数的相关概念；结合课本第104页的例2，进一步体会复数ab是实数、虚数和纯虚数的条件；结合课本第105页的例3，感悟和体会两个复数相等的充要条件3典型例题(1)复数的相关概念 实数(b=0) 复数ab(a，bR) 纯虚数(a=0，且b0) 虚数(b0) 非纯虚数(a0，且b0)例1 实数x分别取什么值时，复数z= x2 x 6 (x2 2x 15)是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?分析：先
3、明确复数的实部、虚部分别是什么，然后利用复数的相关概念即可解：由知：复数的实部为x2 x 6，虚部为x2 2x 15 (1) 要使z是实数，则x2 2x 15=0，从而当x= 3或5时，z是实数；(2) 要使z是虚数，则x2 2x 150，从而当时，z是虚数；(3)要使z是纯虚数，则 从而当x=5时，z是纯虚数；(4)要使z是0，则 从而当x= 3时，z是0点评：一般地，对于复数ab(a，bR)当b=0时，ab为实数；当时，ab为虚数；当a=0且时，ab为纯虚数对复数的分类要严格按照上述规律进行在讨论z为纯虚数时，不仅要考虑x2x 6=0而且要考虑x2 2x 150，当然a，b是实数的条件是必
4、不可少的(2)复数相等的充要条件两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等一般地，两个复数只能说它们相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较大小例2 求适合下列方程中的x与y(x，yR)的值(1) x2 2 (x 3) = y2 9 (y 2)；(2) 2x2 5x 3 (y2 y 6)= 0分析：先明确复数的实部、虚部，然后利用两个复数相等即实部、虚部分别相等解：(1)由x2 2 (x 3)= y2 9 (y 2)得：即：(2)由2x2 5x 3 (y2 y 6)= 0得：即：从而 或或或点评：两个复数相等的定义是实部、虚部分别相等，必须当心的是形如ab中的a，
5、b是否为实数，否则容易引起错解例3 求使不等式m2(m23m)(m2 4m3)10成立的实数m的值分析：本题抓住“复数能够比较大小，必须都为实数”这一规则来求解解：由题意：解得所以m=34自我检测(1)若实数集记为R，纯虚数集记为I，复数集记为C，则下列各式中：RI=0；RI=；C=RI；，正确的序号有_(2)若x、y是实数，且2x1=y(3y)，则x=_，y=_(3)设复数z=ab(a2b2)(a、bR)，则a、b满足_时，z是纯虚数三、课后巩固练习A组1 若a、b是实数，则a=0是复数ab为纯虚数的_条件2 设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的_条件.3若复数(a2a2)(|a1|1
6、)(aR)不是纯虚数，则a的取值范围是_B组4满足方程x22x3(9y26y1)=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_5 下列命题：1的平方根只有一个；i是1的四次方根；设复数z1=ab，z2=cd，则z1=z2的充要条件是a=c且b=d；若=0，则z1=z2=0；若a、bR且a=b，则(ab)(ab)是纯虚数其中正确的个数为_6当实数m分别取何值时，复数z = (1)m2(52)m615i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零7已知a是实数，b是纯虚数，且满足(22a)(13b) i=bi，求a、b8已知x，y，tR，t1，且t0，求满足时，点(x，y)的轨迹方程C组9已知关于
7、x的方程x2(12i)x(3m1)i=0有实根，求纯虚数m的值10设复数z1=1sinx(1cosx)i，z2=，(x，yR)，若z1z2，求x、y的值知识点题号注意点复数的概念1-3，6注意体会复数abi是实数、虚数和纯虚数的条件 复数的相等5，7，9应用两个复数相等的充要条件时，注意各个字母的虚实综合问题4，8，10注意复数与其它知识的联系四、学习心得五、拓展视野16世纪意大利米兰学者卡当(Jerome Cardan15011576)在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且讨论是否可能把10分成两部分使它们的乘积等于40，这需要解方程x(10x)=40尽管他写出了两个表达式，但却认为自己写的两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(15961650)，他在几何学(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来学完了本节，你会解x(10x)=40这个方程了吗?
