1、第8讲 解三角形基础过关1.已知ABC的内角A,B,C满足(sinA+sinB)(sinA-sinB)=(sinC-sinB)sinC,ABC的面积为103.(1)求sin2A;(2)若sinB+sinC=13314,求ABC的周长.2.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C的对边,acosC+3csinA=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=3,b+c=3,求b,c.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=4,A=3.(1)AD是BC边上的中线,若AD=7,求c的值;(2)若a=43,求ABC的周长.4.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a
2、,b,c,asin2B=2bsinAcos3-B.(1)求cosB的值;(2)若ABC的面积为1,求b的最小值.能力提升5.如图X8-1,在四边形ABCD中,ADAB,CAB=60,BCD=120,AC=2.(1)若ABC=15,求DC.(2)记ABC=,当为何值时,BCD的面积取得最小值?求出最小值.图X8-16.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin(B+C).(1)求角B的大小;(2)若ABC为锐角三角形,且c=2,求ABC面积的取值范围.限时集训(八)1.解:(1)设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinA+sinB)(sinA-sinB
3、)=(sinC-sinB)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,化简可得b2+c2-bc=a2,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=12.0Ab,所以AB,所以B=6,所以C=-A-B=2,所以c=a2+b2=8,所以ABC的周长为a+b+c=12+43.4.解:(1)由asin2B=2bsinAcos3-B,得2sinAsinBcosB=2sinBsinAcos3-B,sinA0,sinB0,cosB=cos3-B,ABC为锐角三角形,B0,2,3-B-6,3,B=3-B,B=6,故cosB=32.(2)SABC=12acsinB=1,ac=4,又b2=a2
4、+c2-2accosB=a2+c2-432ac-43=8-43,当且仅当a=c=2时取等号,b的最小值为8-43=6-2.5.解:(1)在四边形ABCD中,因为ADAB,BCD=120,ABC=15,所以ADC=360-90-120-15=135.在ACD中,可得CAD=90-60=30,ADC=135,AC=2,由正弦定理得CDsinCAD=ACsinADC,即CDsin30=2sin135,解得CD=2.(2)因为CAD=30,所以ADC=150-.在ADC中,由DCsin30=2sin(150-),得DC=1sin(150-).在ABC中,由BCsin60=2sin,得BC=3sin.所
5、以SBCD=12DCBCsin120=341sin(150-)sin=34112sincos+32sin2=34114sin2-34cos2+34=34112sin(2-60)+34,所以当sin(2-60)=1,即=75时,SBCD取得最小值,最小值为6-33.6.解:(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsin(B+C).又因为ABC中,A+B+C=180,所以sinA+C2=cosB2,sin(B+C)=sinA,所以sinAcosB2=sinBsinA,因为sinA0,所以cosB2=sinB=2sinB2cosB2.因为cosB20,所以sinB2=12,又B(0,180),所以B=60.(2)由(1)知,SABC=12acsinB=32a.由正弦定理得a=csinAsinC=2sin(120-C)sinC=3tanC+1.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90,由(1)知A+C=180-B=120,所以30C90,故tanC33,+,所以1a4,所以32SABC23,故ABC面积的取值范围是32,23.
