1、二十八抛物线方程及性质的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】选B.当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有1条;当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有2条.2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0【解析】选D.设切线方程为2x-y+m=0,与y=x2联立得x2-2x-m=0,=4+4m=0,m=-1,即切线方程为2x-y-1=0.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若
2、过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】选C.准线x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,得x=0,即交点为(0,0),当k0时,0,-1k0或00,即a8.设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=,因为|AB|=,所以=,即a2-8a-48=0,解得a=-4或a=12,所以所求抛物线的方程为x2=-4y或x2=12y.8.已知抛物线y2=2px(1p3)的焦点为F,抛物线上的点M(x0,1)到准线的距离为.
3、(1)求抛物线的标准方程.(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N,求的值.【解析】(1)由题意知消去x0得2p2-5p+2=0,因为1p0)的焦点为F,P(5,a)为抛物线C上一点,且|PF|=8.(1)求抛物线C的方程.(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过Q(0,-3),求直线l的方程.【解析】(1)由抛物线定义,可得5+=8,解得p=6,所以抛物线C的方程为:y2=12x.(2)由(1)知,F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+3,联立方程消去x,整理得y2-12my-36=0,则=144m2+1440,且y1+y2=1
4、2m,y1y2=-36.因为以线段AB为直径的圆过点Q(0,-3),所以=0,即x1x2+(y1+3)(y2+3)=0,所以x1x2+3(y1+y2)+y1y2+9=0,所以(my1+3)(my2+3)+3(y1+y2)+y1y2+9=0,所以(m2+1)y1y2+(3m+3)(y1+y2)+18=0,-36m2-36+36m2+36m+18=0,所以m=.所以直线l的方程为:x=y+3,即2x-y-6=0.1.已知在抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为.【解析】设M(x1,),N(x2,),两点关于直线y=kx+对称,显然k=0时不成立,所以=-,即
5、x1+x2=-.设MN的中点为P(x0,y0),则x0=-,y0=k+=4.又中点P在抛物线y=x2内,所以4,即k2,所以k或k0)上一点P(x0,-4)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点(A,B异于点P),且kAP+kBP=-2,试判断直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)由题可得:解得x0=2,p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)过定点(-2,0).设直线l的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消x得:y2-8my-8n=0,=32(2m2+n)0,所以y1+y2=8m,y1y2=-8n,所以kAP=,同理kBP=,又kAP+kBP=-2,所以y1y2-16=0,所以n=-2,所以直线l的方程为:x=my-2,过定点(-2,0).关闭Word文档返回原板块
