1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一平面向量的正交分解思考如果向量a与b的夹角是90，则称向量a与b垂直，记作ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.知识点二平面向量的坐标表示思考1如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向
2、量i，j为基底，如何表示向量a?答案a2i2j.思考2在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向量a的位置确定了吗？答案对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关.思考3设向量(1，1)，O为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？A点坐标是多少？答案向量的坐标为(1，1)，A点坐标为A(1，1).梳理(1)平面向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位
3、向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y).在平面直角坐标平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0).(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，
4、y)联系当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量的坐标运算思考设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？答案ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.梳理设a(x1，y1)，b(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的
5、差向量数乘a(x1，y1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量(x2x1，y2y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.类型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b. 四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标.解(1)作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542.A(2，2)，故a(2，2).AOC18010575，AOy45，COy30.又OCA
6、B3，C，即b.(2).(3)(2，2)(，).反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.跟踪训练1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标.解如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D(，)，(2，0)，(1，)，(12，0)(1，)，(2，0)(，).类型二平面向量的坐标
7、运算例2已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n的值；(3)求M，N的坐标及向量的坐标.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)a(5，5)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3，24)(3，4)(0，20)，M(0，20).又2b，2b(12，6)(3，4)(9，2)，N(9，2)，(9，18).反思与感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、
8、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练2已知a(1，2)，b(2，1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解(1)2a3b2(1，2)3(2，1)(2，4)(6，3)(4，7).(2)a3b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，3)(7，1).(3)ab(1，2)(2，1).类型三平面向量坐标运算的应用例3已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若(R)，试求为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上；(2)点P在第三象限内.解设点P的坐标为
9、(x，y)，则(x，y)(2，3)(x2，y3)，(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(3，1)(5，7)(35，17).，则(1)若点P在一、三象限角平分线上，则5547，.(2)若点P在第三象限内，则1.当时，点P在第一、三象限角平分线上；当1时，点P在第三象限内.反思与感悟(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.跟踪训练3已知向量a(2，1)，b(1，2)，若
10、manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.答案3解析a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.1.设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b等于()A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3)答案A2.已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C.(8，1) D.(8，1)答案A解析(8，1)，.3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C.(3，2) D.(1，3)答案A解析设D点坐标为(x，y)，则(4，3)，(x，y2)，由2，得，
11、D(2，).4.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量等于()A.(7，4) B.(7，4)C.(1，4) D.(1，4)答案A解析(3，1)，(4，3)，(4，3)(3，1)(7，4).5.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a(1，2)，b(2，3)，c(3，4). cxayb，解得因此xy.1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要
12、区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时(xBxA，yByA).3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.课时作业一、选择题1.已知向量a(1，2)，b(1，0)，那么向量3ba的坐标是()A.(4，2) B.(4，2)C.(4，2) D.(4，2)答案D解析3ba3(1，0)(1，2)(3，0)(1，2)(31，02)(4，2)，故选D.2.已知ab(1，2)，ab(4，10)，则a等于()A.
13、(2，2) B.(2，2)C.(2，2) D.(2，2)答案D3.已知向量a(1，2)，b(2，3)，c(3，4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A.2，1 B.1，2C.2，1 D.1，2答案D解析由解得4.在ABCD中，已知(3，7)，(2，3)，对角线AC，BD相交于点O，则的坐标是()A. B.C. D.答案B解析()(2，3)(3，7)，故选B.5.如果将(，)绕原点O逆时针方向旋转120得到，则的坐标是()A.(，) B.(，)C.(1，) D.(，)答案D解析因为(，)所在直线的倾斜角为30，绕原点O逆时针方向旋转120得到所在直线的倾斜角为150，所以A，B两点关于y轴对
14、称，由此可知B点坐标为(，)，故的坐标是(，)，故选D.6.已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c等于()A.(23，12) B.(23，12)C.(7，0) D.(7，0)答案A解析a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，且3a2bc0，c2b3a2(4，3)3(5，2)(815，66)(23，12).7.已知M(2，7)，N(10，2)，点P是线段MN上的点，且2，则P点的坐标为()A.(14，16) B.(22，11)C.(6，1) D.(2，4)答案D二、填空题8.已知e1(1，2)，e2(2，3)，a(1，2)，则以e1，e2为基底，将a分解成1e1
15、2e2(1，2R)的形式为_.答案ae1e2解析设a1e12e2(1，2R)，则(1，2)1(1，2)2(2，3)(122，2132)，由解得所以ae1e2.9.已知平面上三点A(2，4)，B(0，6)，C(8，10)，则的坐标是_.答案(3，6)10.已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，0)，D(x，y)，且2，则xy_.答案解析(2，0)(1，2)(1，2)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，又2，即(2x4，2y6)(1，2)，由解得xy.11.已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，3，2，则的坐标为_.答案(9，18)解析3(1，8)(3，24)，2(6，3)(12，6)
16、，(12，6)(3，24)(9，18).12.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|6，xOA150，向量的坐标为_.答案(3，3)13.已知A(3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC.设(R)，则_.答案解析过C作CEx轴于点E，由AOC知，|OE|CE|2，所以，即，所以(2，0)(3，0)，故.三、解答题14.已知a(2，1)，b(1，3)，c(1，2)，求p2a3bc，并用基底a、b表示p.解p2a3bc2(2，1)3(1，3)(1，2)(4，2)(3，9)(1，2)(2，13).设pxayb，则有解得pab.四、探究与拓展15.已知点A(1，2)，B(2，8)及，求点C、D和的坐标.解设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得(x11，y12)，(3，6)，(1x2，2y2)，(3，6).，(x11，y12)(3，6)(1，2)，(1x2，2y2)(3，6)(1，2)，则有和解得和C，D的坐标分别为(0，4)和(2，0)，(2，4).
