1、两异面直线所成的角高三第一轮复习专题一、两条异面直线所成的角nOmnm1.Omnmnmnmn过空间任意一点，分别引两异面直线、的平行线、，则、这两条相交直线所成的锐角或直角叫做两异面直线、所成的角2.(0,2两异面直线所成的角 的取值范围为cos0,1)3.|cos|cos,|m nm nm nm n 若两异面直线的方向向量分别是、则这两异面直线所成的角满足coscoscos则.MLLlMmLllmLm已知平面外有一直线，在平面内的射影是,平面内有一直线记 与 所成的角为与所成的角为，与所成的角为4.三余弦定理,LPPPElEEEFmFPFPFm证明：在 上任取一点过点 作垂足为过点作，垂足为
2、连接则cosOERt PEOOP在中EPOFlLmcosOFRt EOFOE在中cosOFRt POFOP在中OF OEOE OPcoscoscosOFOP1111112,4305102 5.105105ABCDA B C DA AABBCACBDABCD在长方体中，则异面直线与所成的角的余弦值是A选 EFAAEF在中，由余弦定理得：2211522AEACBABC222111111622EFBDBAA AA D1AEFACBD则两异面直线与所成的角或补角1BDACEDDFEFFA解：连接交于，取的中点，连接、22230cos210AEEFAFAEFAE EF DCBAD1C1B1A1FE422
3、2217AFADDF二、两异面直线所成的角的求解与应用1.例1111112,4305102 5.105105ABCDA B C DA AABBCACBDABCD在长方体中，则异面直线与所成的角的余弦值是A选2223cos25AEBAEEBABAEBAE EB在中115cos6BDDBDBD1BDBDABCD是在平面内的射影BDACE另解：连接交于130coscoscos10DBDAEB DCBAD1C1B1A1E4221ACBD设异面直线与所成的角为由三余弦定理得1111112,4305102 5.105105ABCDA B C DA AABBCACBDABCD在长方体中，则异面直线与所成的角
4、的余弦值是30101(4,2,2)BD 1(0,0,2)D1DDADCDDxyz另解：以为原点，以、所在直线为、轴，建立空间直角坐标系A选11|AC BDACBD11=|cos,|ACBDAC BD异面直线与所成角的余弦值122 52 6(4,2,0)AC (4,2,0)B(0,2,0)C(4,0,0)A则：DCBAD1C1B1A1422zyx1111011112 2,456633.3636ABCDA B C DABCDABBCABCEBCAAABCDDEA EAEA DABCD四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，平面，则异面直线与所成角的余弦为3=3EDCBAD1C1B1A1P2202c
5、os1355ECDEDCDECCD EC在中PEAABAE222ABAEBE2202cos451ABEAEABBEAB BE解：在中221+(2)3PBEPE在中11|,|PE BCPE AD则1BBPPEPA取的中点，连接、12A A122211115Rt A AEA EAEA AA A在中由1PEAAEA D为两异面直线与所成的角PAAE222PAEPEPAAE在中221+12PBAPA在中C选2 21045思考题1：cosAEPEAPE0111111112 2,456633.3636ABCDA B C DABCDABBCABCEBCAAABCDDEA EAEA DABCD四棱柱的底面是平
6、行四边形，且，为的中点，平面，则异面直线与所成角的余弦为EDCBAD1C1B1A12202cos1355ECDEDCDECCD EC在中ABAE222ABAEBE2202cos451ABEAEABBEAB BE解：在中112cos3ADADAA D12A A122211115Rt A AEA EAEA AA A在中由02coscos452EAD13coscoscos3ADAEAD 1AEAD设与所成角为C选2 21045由三余弦定理得2331 2 30111111112 2,456633.3636ABCDA B C DABCDABBCABCEBCAAABCDDEA EAEA DABCD四棱柱的
7、底面是平行四边形，且，为的中点，平面，则异面直线与所成角的余弦为1(0,0,),0Ah h 设(0,2 2,0)D22Rt ABFBFAF在中易知1ABCDAADAFBCFAAFADAAxyz解：在底面内过点 作的垂线，交于点，以 为原点，、所在直线为、轴建立空间直角坐标系22(,0)22E2223 2()()522ED1(0,2 2,2)A D 2h 得222122()()522A Eh由22(,0)22AE111cos,|AE A DAE A DAEA D C选EDCBAD1C1B1A112 2045zyx62105611.105611PABCDABCDEADBDPEABCD正四棱锥的侧棱
8、长为，底面边长为，为的中点，则与所成角的余弦值为EPDCBA,DCFPFEF解：取的中点,连接222cos2PEFPEEFPFPEFPE EF在中5PEBPE在中，易知1010PEFBDPE与所成角A选F5PFPE122EFBD26思考题2：62105611.105611PABCDABCDEADBDPEABCD正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则与所成角的余弦值为EPDCBAOABCDOOEOP解：取正方形的中心连接，1cos5Rt POEPEO在中5PEBPE在中，易知12102105BDPE设与所成角为coscoscosPEOEOB A选由三余弦定理得2662105611.1056
9、11PABCDABCDEADBDPEABCD正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则与所成角的余弦值为EPDCBAO1010(0,1,2)PE(0,0,)Ph设ABCDOOEOPyz解：以正方形的中心为坐标原点，以、所在直线为、轴，建立直角坐标系(0,1,0)E(1,1,0)B(1,1,0)OB|OB PEOBPEyzxA选(1,1,)BPh 则2|1 16BPh 由2h 解之得125=|cos,|BDPEOB PE与所成角的余弦值267 5321065555.2345PABPOEPBACDOOPABAEOCBEABCD已知是圆锥的轴截面，是母线上一点，正内接于底面圆，若，两异面直线与所成
10、的角的余弦值为，则060COBOEDCBAPAEAB解：在下底面内的射影是7cos53EAB得coscoscosEABCOB 由AEOC设与所成的角为APB在中sinsin()AEBEABABE165 53sinsinABBEAEBEAB由54BE 得C选2sin53EAB1cos5ABE2sin5ABEAEB在中2.例7 5321065555.2345PABPOEPBACDOOPABAEOCBEABCD已知是圆锥的轴截面，是母线上一点，正内接于底面圆，若，两异面直线与所成的角的余弦值为，则(0,1,0)AOEDCBAPOOABON另解：在底面圆内过点作的垂线zyxyxODCBAOONOBOP
11、xyz以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系(0,1,0)B(0,0,2)P(01)BEBP3 1(,0)22C AEABBP(0,2,2)AEOC设与所成的角为|cos|AE OCAE OC222 54472 5321210 14 解之得1544BEBPC选3ABCAC解：在中222ABACBC060,1,2.3 73 72 777.144323PABCDPAABCDABCDABCABPAADEPCAEBDECABCD在四棱锥中，底面，底面是平行四边形，点在线段上若异面直线与所成角的余弦值为,则EDCBAPzyxAABADAPxyz以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系ABA
12、C(01)CECP设(1,0,0)B(1,3,0)D yxDCBA(0,0,2)P(0,3,0)C(0,33,2)AE(2,3,0)BD AEBD设与所成角为223|1|73(1)4|cos|AE BDAEBD由3 71423210 即13 解之得1733CECPD选221思考题3：2ABCAC解：在中BCFAF取的中点，连接060,52.43 24 23 22 2.4323PABCDPAABCDABCDABCABPAADEPCAEBPECABCD在四棱锥中，底面，底面是平行四边形，点在线段上若异面直线与所成角的余弦值为,则AAFADAPxyz以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系AF
13、BC则(01)CECP设(3,1,0)B(0,0,2)P(3,1,0)C(33,1,2)AE(3,1,2)BP AEBP设与所成角为22(1)2 24(1)4|cos|AE BPAEBP由54231480 即23 解之得24 233CECPB选yxDCBAEDCBAP222xyzF12216,4.12634ABCDO OFBCEOBAEAEO FABCD正方形是圆柱的轴截面，是母线的中点，是圆圆周上一点，若与所成的角的余弦值为,则1AEO F设与所成角为EFDCBAO2O11ABO F解：是在下底面的射影由三余弦定理得3cos2 1coscoscosCO F12coscos 42CO F2 c
14、os2646B选思考题4：1221,6.412634ABCDOOFBCEOBAEAEO FABCD正方形是圆柱的轴截面，是母线的中点，是圆圆周上一点，若与所成的角的余弦值为,则1AEO F设与所成角为EFDCBAO2O1xzy2222221OABO NOO NO BO Oxyz解：在下底面内过点作的垂线以为原点，、所在直线为、轴建立空间直角坐标系(0,1,0)A则1(0,0,2)O1(0,1,1)O F(0,1,1)F2AB 设(sin2,cos2,0)E2yxO2EBA11|cos|AE O FAE O F(sin2,1 cos2,0)AE 221 cos22 sin 2(1 cos2)64
15、1cos 22 22cos 2cos210 得6 B选22,22222.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为DCBAOBDBCACOEFOEEFOFOC解：取、的中点、，连接、1ABDOA在等腰中3BCDOC在正中，FE222AOCOAOCAC在中OAOC112OFAC112OEFOECD在中1222EFAB24222cos2OEEFOFOEFOE EFC选2222三、练习22,22222.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值
16、为ABBDCBD在平面内的射影是ABCD设直线与所成角为coscoscosABOCDO coscoscos由三余弦定理得2400cos45 cos60C选,BDOOC OA解：取的中点,连接,1ABDOABD OA在等腰中，3OC 222AOCOAOCAC在中OAOCOABDC 平面BCDBDOC在正中DCBAO222222,22222.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为(0,0,1)A(1,0,0)D(0,3,0)C(1,0,0)B1242 2(1,3,0)DC(1,0,1)BA|cos,|BA DCBA
17、 DCBA DCC选,BDOOC OA解：取的中点,连接,1ABDOABD OA在等腰中，3OC 222AOCOAOCAC在中OAOCOOBOCOAxyz以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系BCDBDOC在正中DCBAOzyx222223,23333.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为EDCBAOF62OF222242()AOCOFACOAOC在中3BCDOC在正中，,2ABDOABD OA在等腰中BDBCACOEFOEEFOFOC解：取、的中点、，连接、3121322EFAB112OEFOECD在中A
18、选222cos2OEEFOFOEFOE EF223323,23333.12643ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为(0,)(0)Am nn 设OOCBDOAAOCOONOCOOBOCONxyz解：取的中点，连接、，在平面内过点作，以为原点，、所在直线为、轴建立空间直角坐标系(1,0,0)D(0,3,0)C(1,0,0)B则132122 3696n 2222213(3)2ABmnACmn由36m 解之得(1,3,0)DC 369(1,)66BA|cos,|BA DCBA DCBA DCA选DCBA3322zyxO22O
19、F222242()AOCOFACOAOC在中3BCDOC在正中，,2ABDOABD OA在等腰中BDBCACOEFOAOEEFOFOC解：取、的中点、，连接、5 3121322EFAB112OEFOECD在中D选222cos2OEEFOFOEFOE EF23,2 235 335 3.24241212ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为DCBAFOE22 23323,2 235 335 3.24241212ABCDBCDABADACABCDABCD在三棱锥中，底面是边长为 的正三角形，侧棱则异面直线与所成角的余弦值为(0
20、,)(0)Am nn 设OOCBDOAAOCOONOCOOBOCONxyz解：取的中点，连接、，在平面内过点作，以为原点，、所在直线为、轴建立空间直角坐标系(1,0,0)D(0,3,0)C(1,0,0)B则55 32122 352n 2222213(3)2 2ABmnACmn由32m 解之得(1,3,0)DC 35(1,)22BA|cos,|BA DCBA DCBA DC D选DCBAzyxO332 220111111202222.34612ABCA B CBACACABAAEBCAEACABCD在直三棱柱中，是中点，则异面直线与所成的角的余弦值为ECBAC1B1A1B选2411122A BC
21、EFAC在中12ACABAA设1A BFEFEAFA解：取的中点连接、11122Rt BAAAFBA在中0601Rt AECEACAE在中222cos2AEFAEEFAFAEFAE EF在中F0111111202222.34612ABCA B CBACACABAAEBCAEACABCD在直三棱柱中，是中点，则异面直线与所成的角的余弦值为ECBAC1B1A1B选2400coscos45 cos60 0145ACA1ACACABC解：是在平面内的射影1AEAC设与所成的角为060EACcoscoscos由三余弦定理得0111111202222.34612ABCA B CBACACABAAEBCAE
22、ACABCD在直三棱柱中，是中点，则异面直线与所成的角的余弦值为ECBAC1B1A1zyxyxECBAB选1241 2 21(3,1,2)CA (3,0,0)C12ACABAA设11BCB CENEECEAENxyz解：取、的中点、，以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系1(0,1,2)A(0,1,0)A则：(0,1,0)EA 111cos,|EA CAEA CAEA CA 1111111,2,4,853 85853 85.34341717ABCA BCABAAPA BBPACABCD已知在正三棱柱中点 是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为PCBAC1B1A1NQMQMN17MQPBMPB
23、Q四边形为平行四边形12MPBCBQ111ACA ABCMNQMPMNNQMQ解：取、的中点、，连接、11111|ABCMP BC在中|BQ MP11|BQ BC|PB MQ3 8534227Rt NAQNQNAAQ在中1QMNBPAC为异面直线与所成的角1152MNAC111|AACMNAC在中222cos2MNQMNMQNQQMNMQ MN在中B选421111111,2,4,853 85853 85.34341717ABCA B CABAAPA BBPACABCD已知在正三棱柱中点 分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为yxOCBA11=|ACBPACBP31(,4)22BP 1(0,
24、1,4)CBCOOAOBxy解：以的中点为坐标原点,、所在直线为、轴,建立空间直角坐标系3 1(,4)22P(0,1,0)B(3,0,0)A则：1(3,1,4)AC 3 853411=cosBPACAC BP异面直线与所成角的余弦值,31|16|222 517B选PCBAC1B1A142zyxO11111112,3.2 781233 2.392222ABCDA B C DDADCDDPBDD PB CDPABCD在长方体中，点 在线段上若异面直线与所成角的余弦值为,则3 22DPyxPDCBA1(2,0,3)CB(0,2,0)C1DDADCDDxyz解：以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立空间
25、直角坐标系1(2,2,3)B1(0,0,3)D则：1(,3)D Pa a则：(,0)(02 2)P a aa设3257()2aa 解之得：或舍去241081710aa即：223(29)8(29)aa得：2 7839111111cos,|D P CBD P CBD P CB 由2|29|13 29aaD选322zyx11111112,1.2 7013610.352222ABCDA B C DDADCDDPACD PBCDPABCD在长方体中，点 在线段上若异面直线与所成角的余弦值为,则102DP1(2,0,1)BC 1(0,2,1)C1DDADCDDxyz解：以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立
26、空间直角坐标系(2,2,0)B1(0,0,1)D则：2mn则：(,0)(02)P m nm设12m 解之得：2420110mm得：470111111cos,|D P BCD P BCD P BC 由22|21|51mmnD选PDCBAD1C1B1A12z21yx1(,1)D Pm n32n 210 3 106 2 65 2 513.(,).(,).(,).(,)1010665533PABPOPOABEPOMOABAPEMABCD已知是圆锥的轴截面，是高的中点，在底面圆的半圆弧上运动，则两异面直线与所成角的余弦值的取值范围是(0,1,2)AP MEOPBAzyx(cos,sin,0)()22M(
27、cos,sin,1)EM|cos|EM APEMAPAPEM设与所成角为MyxOBAOOABON解：在底面圆内过点作的垂线OONOBOPxyz以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系1sin1 2sin1010 3 10cos(,)1010 A选211212122234,17151311.(0,).(0,).(0,).(0,)17151311ABCDO OO CO BO OMNOBMNCABCD已知等腰梯形是圆台的轴截面，是圆的直径，则两异面直线与所成的角的余弦值的取值范围是NDCBAO2O1MMyxNO2BA(3cos,3sin,0)MBMNC设与所成的角为(0,3,0)B1 sint 令zyx222OOABO N解：在底面圆内过点作的垂线22221OO NO BO Oxyz以为坐标原点，以、所在直线为、轴建立直角坐标系(3cos,3sin,0)N(0,2,4)C3(1 sin)18(1 sin)29 12sin(3cos,3sin3,0)BM(3cos,3sin2,4)NC|cos|BM NCBMNC1 sin2(29 12sin)()2202t()2(41 12)ttt(0,2)在递增1()(0,)17tA选432谢谢观看
