1、第2讲函数与方程及函数的应用一、填空题1若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是_解析由题意知即为方程x22xa0无实数解，即44a0，解得a1.答案(1，)2已知函数f(x)则函数f(x)的零点为_解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2 x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.答案03(2014苏州模拟)函数f(x)对一切实数x都满足ff，并且方程f(x)0有三个实根，则这三个实根的和为_解析函数图象关于直线x对称，方程f(x)0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x对称，其和为1，故方程f(x)0的
2、三个实根之和为.答案4已知函数f(x)对任意的xR满足f(x)f(x)，且当x0时，f(x)x2ax1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是_解析由函数f(x)对任意的xR满足f(x)f(x)得该函数是偶函数，所以若f(x)有4个零点，则当x0时，f(x)x2ax1有2个零点，所以解得a2，则实数a的取值范围是(2，)答案(2，)5一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是_cm2.解析设直角边为40 cm和60 cm上的矩形边长分别为x cm、y cm，则，解得y60x.矩形的面积Sxy
3、x(x20)2 600，当x20时矩形的面积最大，此时S600.答案6006已知函数f(x)x22x，g(x)(1)gf(1)_；(2)若方程gf(x)a0的实数根的个数有4个，则a的取值范围是_解析(1)利用解析式直接求解得gf(1)g(3)312；(2)令f(x)t，则g(t)a，要使原方程有4解，则方程f(x)t在t1时有2个不同解，即函数yg(t)，t1与ya有两个不同的交点，作出函数yg(t)，t1的图象，由图象可知1a时，函数yg(t)，t1与ya有两个不同的交点，即所求a的取值范围是.答案(1)2(2)7(2014广州测试)已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间
4、1,1上有零点，则实数a的取值范围为_解析若a0，则f(x)2x3.f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.答案8. (2013南师附中模拟)如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则lS的最大值为_解析设正方形的边长为a(a1)，当E、F沿
5、着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G的轨迹如图，是由半径均为的四段圆弧、长度均为a1四条线段围成的封闭图形，周长l4(a1)，面积Sa2，所以lSa24a4，a1，由二次函数知识得当a2时，lS取得最大值.答案二、解答题9设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4
6、a)24(4a)0a2a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)10.如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇已知OC()km，AOB75，AOC45，现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城设OAx km，OBy km.(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A，B的位置，使OAB的面积最小解(1)因为AOC的面积与BOC的面积之和等于AOB的面积，所以x()sin 45y()sin 30xysin 75 ，即x()y()xy，所以y(x2)(2)AOB的面积Sxysin 75xy(x24)84(1)当且仅当
7、x4时取等号，此时y4.故OA4 km，OB4 km时，OAB面积的最小值为4(1) km2.11(2014南京、盐城模拟)如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得解得即9x15.所以x的取值范围是9,15(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得ya2axx2，令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x.由f(x)0解得x0(舍去)或x10或x15，列表如下：x9(9,10)10(10,15)15f(x)00f(x)极小值所以当x10时，y取最小值故当x10时，可使“环岛”的整体造价最低
